poisson-verteilung

BINOMIALVERTEILUNG
HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG
§ Bernoulli-Kette (genau zwei einander ausschließ ende
Ereignisse mö glich und unabhängige Durchführungen)
§ Þ Ziehen mit Zurücklegen
NORMALVERTEILUNG
Zentraler Grenzwertsatz (verkürzt): Jede beliebige Summe von
(unabhängigen und gleichverteilten) Zufallsgrö ß en ist annähernd
normalverteilt (z. B. viele in der Natur vorkommende Grö ß en).
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
æ n ö k n -k
P(X = k) = B(n; p; k) = çç ÷÷ × p × q
èkø
1 æ x -m ö
÷
s ø
- ç
1
P(X = x) = Nµ ;s(x) =
e 2è
s 2p
Varianz: V(X) = n×p×q
éæ n ö
å êçç i ÷÷ × p × (1 - p)
k
i=0
æKö æ N - Kö
÷÷
çç ÷÷ × çç
k
n
k
ø
è ø è
P(X = k) = H(N; K; n; k) =
æ Nö
çç ÷÷
ènø
i
n -i
ëè ø
2
N = Gesamtanzahl der Elemente
K = Gesamtzahl der Elemente mit bestimmter Eigenschaft
n = Umfang der Stichprobe (Anzahl der Ziehungen)
k = Anzahl der Elemente in dieser Stichprobe mit der Eigenschaft
Erwartungswert: E(X) = n × K
= n×p
N
µ = Erwartungswert
s = Standardabweichung
x = das Quantil, also der Funktionswert der Verteilung
Erwartungswert: E(X) = µ = n×p
Varianz: V(X) = s² = n×p×q
Erwartungswert: E(X) = µ = n×p
P(X £ k) = Fn; p(k) =
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Dichtefunktion:
n = Anzahl der Versuche
p = Erfolgswahrscheinlichkeit
q=1– p
k = Anzahl der Treffer (Erfolge mit Wahrscheinlichkeit p)
Verteilung:
§ Genau zwei einander ausschließ ende Ereignisse
§ Ziehen mit Zurücklegen
ù
ú
û
x
Verteilung:
F ms (x ) = ò jm;s (t )dt =
-¥
1
2p
x
òe
1 æ t -m ö
- ç
÷
2è s ø
-¥
n × KN × (1 - KN ) × NN--n1 = n × p × q × NN--n1 ,
Varianz: V(X) =
2
dt
wobei gilt: p =
Verteilung:
K
N
und q = 1 - p = 1 - KN
P(X £ k) =
éæ K ö æ N - K ö
÷÷
i = 0 ëè
ø è n -i ø
k
å êçç i ÷÷ × çç
POISSON-VERTEILUNG
Grenzverteilung der Binomialverteilung bei seltenen Ereignissen:
§ kleine Erfolgswahrscheinlichkeit p
§ viele Durchführungen, also groß es n
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
§ Bernoulli-Kette (genau zwei einander ausschließ ende
Ereignisse mö glich und unabhängige Durchführungen)
§ Þ Ziehen mit Zurücklegen
Manchmal auch Pascal-Verteilung genannt; sie ist ein Spezialfall
der Negativ-Binomialverteilung für Erfolgszahl r = 1;
l = einziger Parameter ( = Erwartungswert)
k = Anzahl der Treffer (Erfolge mit der Wahrscheinlichkeit p)
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(X = k) = GE(p; k) =
Erwartungswert: E(X) = l = µ = n×p
Varianz: V(X) = l = n×p
æ -m m i
P(X £ k) = Fµ (k) = å çç e ×
i!
i =0 è
k
Verteilungsfunktion:
NEGATIV-BINOMIALVERTEILUNG
GEOMETRISCHE-VERTEILUNG
lk
P(X = k) = Pl(k) = e ×
k!
-l
ö
÷÷
ø
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
q
k -1
×p
P(X = k) = NB(r; p; k) =
p = Erfolgswahrscheinlichkeit
q=1– p
k = Anzahl der nö tigen Versuche; k Î N
Erwartungswert: E(X) = p1
Varianz: V(X) =
r = Anzahl der erwünschten Erfolge
p = Erfolgswahrscheinlichkeit
k = Anzahl der auftretenden Misserfolge
q
p2
Verteilungsfunktion:
æ r + k - 1ö r k
çç
÷÷ × p × q
è k ø
Erwartungswert: E(X) =
P(X £ k) = 1- q
k
Varianz: V(X) =
r × qp
r × pq2
éæ r + i - 1ö r i ù
÷×p ×q ú
i ÷ø
i = 0 ëè
û
k
Verteilung:
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P(X £ k) =
å êçç
æ N öù
çç ÷÷ú
è n øû