9. ¨Ubungsblatt ,,Stochastik”

Institut für Angewandte Mathematik
Sommersemester 2017
Dr. M. Huesmann
D. Hornshaw
9. Übungsblatt ,,Stochastik”
Abgabe: 28.6.2017 in der Vorlesungspause
1. (Moivre-Laplace I)
[6 Pkt ]
Sei Xn eine Folge von Zufallsvariablen, die die Voraussetzungen vom Satz von de MoivreLaplace erfüllt. Man zeige, dass (Xn )n∈N ebenfalls das schwache Gesetz der großen Zahlen
erfüllt.
2. (Moivre-Laplace II)
[6 Pkt ]
a) Ein Geiger-Müller-Zählrohr Z und eine radioaktive Quelle Q seien so postiert, dass
ein Teilchen, das von Q emittiert wird, von Z mit Wahrscheinlichkeit 10−4 registriert
wird. Während der Beobachtungszeit emittiert Q 30.000 Teilchen. Man berechne
approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
i) Z kein Teilchen registriert;
ii) Z mehr als 2 Teilchen registriert.
b) Ein Hotel hat 200 Betten. Wie viele Reservierungen darf der Hotelmanager akzeptieren, wenn erfahrungsgemäßeine Reservierung mit Wahrscheinlichkeit 0.2 annulliert
wird, und die Wahrscheinlichkeit einer Überbuchung höchstens 0.025 sein soll.
Hier einige Werte für
1
φ(x) = √
2π
φ(0, 1) = 0, 539
φ(0, 2) = 0, 579
φ(0, 3) = 0, 617
φ(0, 4) = 0, 655
φ(0, 5) = 0, 691
φ(0, 6) = 0, 725
φ(0, 7) = 0, 758
φ(0, 8) = 0, 788
φ(0, 9) = 0, 815
φ(1, 0) = 0, 841
x
r2 exp −
dr :
2
−∞
Z
φ(1, 1) = 0, 864
φ(1, 2) = 0, 884
φ(1, 3) = 0, 903
φ(1, 4) = 0, 919
φ(1, 5) = 0, 933
φ(1, 6) = 0, 945
φ(1, 7) = 0, 955
φ(1, 8) = 0, 964
φ(1, 9) = 0, 971
φ(2, 0) = 0, 977
φ(2, 1) = 0, 982
φ(2, 2) = 0, 986
φ(2, 3) = 0, 989
φ(2, 4) = 0, 991
φ(2, 5) = 0, 993
φ(2, 6) = 0, 995
φ(2, 7) = 0, 996
φ(2, 8) = 0, 997
φ(2, 9) = 0, 998
φ(3, 0) = 0, 998
3. (Wahrscheinlichkeitsdichten)
[8 Pkt ]
Als Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnen wir eine Funktion f von R nach [0, ∞) für die
Z ∞
f (x)dx = 1
−∞
gilt. Die Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsdichte f ist durch
Z x
f (y)dy
F (x) :=
−∞
gegeben. Weiterhin definieren wir den Erwartungswert und die Varianz von f :
R∞
1) Der Erwartungswert von f ist −∞ xf (x)dx.
R∞
R∞
2) Die Varianz von f ist −∞ x2 f (x)dx − ( −∞ xf (x)dx)2 .
Betrachten Sie die folgenden Funktionen und begründen Sie jeweils, ob diese eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist oder nicht. Berechnen Sie Verteilungsfunktion, Erwartungswert
und Varianz der Wahrscheinlichkeitsdichten.
a) Für λ ≥ 0, sei fλ (x) := 1x≥0 λe−λx .
b) Seien a, b ∈ R, a < b, fa,b (x) := 1[a,b] (x)(b − a)−1 .
c) f (x) := x2 + 21 sin2 (x)cos2 (x).
d) Für f wie in c), sei fb (x) := 1[−1,1] f (x).
e) f (x) := 1[−1,1] 12 (sin2 (x) + cos2 (x)).
R0
f) f (x) := 1[−1,0] ( −1 y 3 dy)−1 x3 .
R1
g) f (x) := 1[0,1] ( 0 y 3 dy)−1 x3
1 2
h) f (x) := e− 2 x