Blatt 7 Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Sommersem. 2009 Dr

Blatt 7
Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
Sommersem. 2009
Dr.W.Kolbe
Ü B U N G E N
55. Eine ZV X sei Poisson–verteilt mit λ = 0.9, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass
sie den Wert k annimmt, sei
e−0.9
0.9k
,
k!
k = 0, 1, 2, . . .
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert
a) zwischen 1 und 3.5 annimmt, wobei beide Grenzen eingeschlossen sind.
b) von höchstens 4 annimmt.
c) von mindestens 2 annimmt.
56. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz
der folgenden diskreten ZV:
a)
X=
(
−1 mit der Wahrscheinlichkeit
+1 mit der Wahrscheinlichkeit
q,
p.
Dabei gelte p ≥ 0, q ≥ 0 und p + q = 1.
b)



−1 mit der Wahrscheinlichkeit
X=
0 mit der Wahrscheinlichkeit


+1 mit der Wahrscheinlichkeit
p,
1 − 2p,
p.
Dabei gelte 0 ≤ p ≤ 0.5.
Hinweis: Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion zunächst an den Stellen x = ±1
bei a) und x = ±1, x = 0 bei b) und dann für beliebige x.
57. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz
der stetigen ZV X, die die folgenden Verteilungsdichten besitzen:
a)
1
f (x) :=
 b−a
0


für a ≤ x ≤ b,
sonst.
X ist also eine ZV, die auf dem Intervall a ≤ x ≤ b (mit a < b) gleichverteilt ist.
b)
f (x) := 0.5e−|x|
Benötigte Formeln:
d eax
(ax − 1) = xeax ;
2
dx a
d
dx
x2 2x
2
− 2 + 3
a
a
a
1
!
· eax = x2 eax ;
lim xα e−βx = 0, (α ∈ IR, β > 0).
x→∞
58.
Gegeben ist die Funktion:



x
für 0 ≤ x ≤ 1
f (x) = −x + 2 für 1 < x ≤ 2


0
sonst
Skizzieren Sie f (x) und zeigen Sie, dass f (x) die Eigenschaften einer Dichtefunktion besitzt.
59. Die Zufallsvariable X besitzt die Dichte f (x) := C cos x für |x| ≤ π/2 und
f (x) := 0 sonst. Bestimmen Sie den Koeffizienten C. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V (X), wobei Integralformeln der Formelsammlungen benutzt werden können.
60. Ein Teilchen bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einem
Kreis mit Radius 1. Es wird zufällig gestoppt. Die Zufallsvariable X sei die Projektion des Kreispunktes auf die x–Achse: X = cos Z, wobei Z eine auf [−π, π]
gleichverteilte ZV ist. Bestimmen Sie
a) die Verteilungsfunktion F (x),
b) die Dichtefunktion f (x).
c) den Erwartungswert E(X),
d) die Varianz V (X).
61. Die Leitung eines Großunternehmens steht vor folgender Entscheidung, über
deren Konsequenz man höchstens mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit Aussagen
treffen kann:
Bei Alternative A ist mit einem Gewinn von 2.5 Mio.Euro mit 30%, von 2 Mio.Euro
mit 50% und einem Verlust von 1 Mio.Euro mit 20% Wahrscheinlichkeit zu rechnen. Bei Alternative B ist mit einem Gewinn von 5 Mio.Euro mit 30%, von 3
Mio.Euro mit 40% und einem Verlust von 2 Mio.Euro mit 30% Wahrscheinlichkeit
zu rechnen.
a) Bestimmen Sie die Erwartungswerte und Standardabweichung der zu A bzw. B
gehörenden ZV.
b) Wie wird sich eine risikofreudige und wie eine sehr vorsichtige Unternehmensleitung entscheiden?
62. Bestimmen Sie für die ZV aus den Aufgaben 56 b), 57 a) und 57 b) die Wahrscheinlichkeit P (| X − E(X) |≤ σ(X)), also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
(absolute) Abweichung der ZV von ihrem Erwartungswert höchstens gleich der
Standardabweichung ist .
63. Es sei X eine binomialverteilte ZV mit den Parametern p = 0.2 und n = 10.
Berechnen Sie:
a) P (X ≤ 2), P (X < 2), P (X ≥ 2), P (X ≥ 1), P (1 < X ≤ 3).
b) E(X), V (X).
2