1. Aufgabenblatt zur Einführung in die Stochastik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
1. Aufgabenblatt zur Einführung in die
Stochastik
Abgabe bis Donnerstag, 2. 11. 2006, 13.00 (Briefkästen im L-Stock)
Gruppe 1: Montag, 15-17, 36-M-24, Béatrice de Tilière
Gruppe 2: Dienstag, 8-10, 36-M-24, Noemi Kurt
Aufgabe 1 Von den drei Ereignissen A, B, C ⊂ Ω tritt (treten)
(a) keines,
(d) genau eines,
(b) mindestens eines,
(c) höchstens eines,
(e) mindestens eines nicht, (f) genau zwei
ein. Stellen Sie die Ereignisse in (a) bis (f) als mengenalgebraische Ausdrücke mit Hilfe
von A, B, C und Ω dar.
Aufgabe 2 Seien A und B zwei Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P )
mit P (A) = 12 und P (B) = 34 . Beweisen Sie, dass gilt
1
1
P (A ∩ B) ≤ , P (A ∩ B) ≥ .
2
4
Zeigen Sie, dass diese beiden Abschätzungen ,,scharf“ sind. Suchen Sie also jeweils ein
(Ω, P ) und A, B ⊂ Ω mit P (A) = 12 , P (B) = 43 , so dass aus der Ungleichung eine
Gleichung wird.
Aufgabe 3 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim wiederholten Werfen einer
Münze zum erstenmal ,,Kopf“ bei einem geradzahligen Wurf auftritt?
Aufgabe 4 (a) In einem Hörsaal befinden sich n Studierende. Unter der Annahme,
dass alle Geburtstage (eines Normaljahres mit 365 Tagen) die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, bestimme man die Wahrscheinlichkeit pn , dass mindestens zwei
Studierende am gleichen Tag Geburtstag haben.
(b) Bestimmen Sie das kleinste n mit pn > 1/2 unter Verwendung der Approximation
log(1 − x) ≈ −x für kleine x.
Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass es r+n−1
Möglichkeiten gibt, r ∈ 0 ununterscheidbare
n−1
Kugeln auf n ∈ in einer Reihe aufgestellte Urnen zu verteilen, wobei mehrere Kugeln
in einer Urne zulässig sind.
N
N
Aufgabe 6 Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden beim Lotto ,,6 aus 45“ mindestens
zwei benachbarte Zahlen gezogen?
Hinweis: Betrachten Sie die 6 gezogenen Zahlen als ,,Trennwände“ zwischen 7 Urnen
und verwenden Sie Aufgabe 5.