Blatt 1 - Mathematisches Seminar

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Mathematisches Seminar
Prof. Dr. Jan Kallsen
Dipl.-Math. Shen Li
SS 2014
Blatt 1
Wahrscheinlichkeitstheorie
Aufgabe 1
Seien (Ω, P(Ω), P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B, A1 , A2 , · · · ⊂ Ω. Zeigen Sie:
(a) P(∅) = 0,
(b) P(∪ni=1 Ai ) = ∑ni=1 P(Ai ), falls A1 , . . . , An paarweise disjunkt,
(c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
(d) P(A) ≤ P(B), falls A ⊂ B,
(e) P(AC ) = 1 − P(A), für AC := Ω \ A.
Aufgabe 2
Sie spielen Skat und finden zwei Buben auf Ihrer Hand. Sie reizen mit einem mäßigen Blatt
auf Grand und hoffen, dass keiner Ihrer Mitspieler mehr als einen Buben auf der Hand hat.
Wie wahrscheinlich ist das? (Der Skat wurde noch nicht aufgenommen.)
Für Nicht-Skatspieler: Sie verteilen 28 gelbe und 4 blaue Kugeln zufällig auf 3 große Urnen
zu je 10 Kugeln und eine kleine Urne für 2 Kugeln. Sie öffnen eine der großen Urnen und
finden darin genau 2 blaue Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der beiden
anderen großen Urnen 2 blaue Kugeln enthält?
Aufgabe 3 (Simpson-Paradoxon)
Kann es sein, dass in allen n möglichen Studienfächern die Erfolgsquote von weiblichen
Bewerbern höher ist, insgesamt aber die von Männern? Konstruieren Sie ein Beispiel, in dem
P(A|B ∩Ci ) > P(A|BC ∩Ci ) für i = 1, . . . , n, aber P(A|B) < P(A|BC ), wobei A := {Bewerber
wird zum Studium zugelassen.}, B := {Bewerber ist weiblich.}, Ci := {Bewerber bewirbt
sich um Fach i.}, i = 1, . . . , n.
Aufgabe 4 (Siebformel und Rencontre-Problem)
(a) Zeigen Sie, dass für Ereignisse A1 , . . . , An eines diskreten Wahrscheinlichkeitsraumes
gilt:
P(A1 ∪ . . . ∪ An ) =
∑
(−1)|T |−1 P
06/ =T ⊂{1,...,n}
\
Ai .
i∈T
(b) Beim Julklapp legt jedes Kind einer Schulklasse ein Geschenk in einen großen Sack.
Die Pakete werden anschließend zufällig an die Kinder verteilt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kind sein eigenes Geschenk zurückbekommt?
Was geschieht, wenn die Klasse sehr groß ist?
Abgabe bis:
Donnerstag, 24.4.2014, 12:15 Uhr
Bitte geben Sie Ihre Übungsgruppe an.
Besprechung: Dienstag, 29.4.2014