Übung 8 - Mathematik

B. Schmalfuß
Paderborn, den 9. Juni 2010
Übung Grundlagen der Stochastik
(8. Serie)
Zentraler Grenzwertsatz und starkes Gesetz der großen Zahlen
(I) Ein Grashüpfer startet am Ursprung der Zahlengerade und hüpft mit Wahrscheinlichkeit p = 0.6 um zwei Einheiten in die positive Richtung und mit der
Wahrscheinlichkeit 1 − p = 0.4 um eine Einheit in die negative Richtung. Xn gebe
die Position des Grashüpfers nach n Sprüngen an.
a) Bestimme Erwartungswert und Streuung von Xn .
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das Tier nach 10000 Sprüngen im
Intervall [7700, 8090]?
[4 Punkte]
(II) Die tatsächlich benötigte CPU-Zeit einer Benutzersitzung an einer Workstation werde (aufgrund einer Langzeitstudie) als eine Zufallsvariable mit unbekanntem
Erwartungswert µ und der Varianz σ 2 = 6.25 [sec2 ] angenommen. Wie viele unabhängige Messungen der CPU-Zeiten sollen mindestens durchgeführt werden, so
dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% der Betrag der Differenz
zwischen dem arithmetischen Mittel der Messwerte und µ kleiner als 0.1 ist? Man
verwende zur Beantwortung der Frage
a) den Zentralen Grenzwertsatz,
b) die Ungleichung von Tschebyscheff.
[4 Punkte]
(III) Es sei λ ∈ R und (Xn )n∈N eine Folge von integrierbaren Zufallsvariablen mit
P(Xn = nλ ) = P(Xn = −nλ ) =
1
.
2
Man zeige, dass für λ < 21 die Folge (Xn ) das starke Gesetz der großen Zahlen
erfüllt.
Hinweis: Man verwende das Kolmogorov–Kriterium.
[4 Punkte]
(1) Es gebe eine zweielementige Teilmenge {a1 , a2 } ⊂ R mit P(X ∈ {a1 , a2 }) = 1.
a) Man bestimme den Erwartungswert und die Varianz von X.
b) Man gebe eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert EX = 0 und Standardabweichung σ(X) = 1 an, die die Bedingung aus a) erfüllt mit a1 = 2. Vergleiche mit
der Tschebyscheff–Ungleichung für P(X ≥ 2)!
(2) Ein Würfel wird genau 600–mal geworfen. Wie groß ist näherungsweise die
Wahrscheinlichkeit,
a) genau 100 Sechsen zu bekommen,
b) zwischen 90 und 110 Sechsen zu bekommen,
c) mehr als 120 Sechsen zu werfen?
(3) Man zeige am Beispiel des Würfels, dass in einer unendlichen Folge X1 , X2 , . . .
von Bernoulli–Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p die Wahrscheinlichkeit 1
ist, dass die relative Häufigkeit hn = n1 (X1 + . . . + Xn ) der Erfolge gegen p konvergiert.
(P) Vor einem Flugschalter warten 36 Personen. Aufgrund früherer Beobachtungen
kann angenommen werden, dass die Abfertigungsdauer Xi pro Person (in Minuten)
exponentialverteilt mit EXi = 1 für alle i = 1, 2, . . . , 36 ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Gesamtabfertigungszeit mehr als 42 Minuten betragen?
Abgabe der Aufgaben I, II & III bis Dienstag, den 22.06.2010, um 14.00
Uhr. Lehramtsstudenten geben den Zettel im Kasten 112, Mathematikstudenten im Kasten 122 auf der Ebene D1 ab.
Satz (Kolmogorov–Kriterium). Sei (Xn )n∈N eine unabhängige Folge integrierbarer
Zufallsvariablen. Gilt dann
∞
X
1
V(Xn ) < ∞,
n2
n=1
so genügt die Folge dem starken Gesetz der großen Zahlen.