Einführung in die Stochastik ¨Ubungsblatt Nr. 3 7. November 2007 9

Einführung in die Stochastik
Übungsblatt Nr. 3
7. November 2007
9. (∗) Bei einer Qualitätsprüfung in einem Industriebetrieb werden fortlaufend Produktionsstücke getestet. Für ein unbekanntes p ∈ (0, 1) seien
diese mit Wahrscheinlichkeit p unbrauchbar, bzw. mit Wahrscheinlichkeit
1 − p funktionsfähig. Die Ergebnisse der verschiedenen Prüfungen seien
unabhängig. Die Tests werden nun durchgeführt, bis mit dem n-ten das
erste Mal ein funktionsuntaugliches Produktionsstück auftaucht. Geben
Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für p an!
10. In einer Übungsgruppe mit 20 Studenten werden in jeder Unterrichtsstunde fünf Studenten zufällig ausgewählt und zum Vorrechnen an die Tafel
gebeten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
(a) ein bestimmter Student, bzw.
(b) irgendein Student
in 10 Unterrichtsstunden mindestens zweimal vorrechnen muß.
11. Konstruieren Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) und jeweils zwei
{0, 1}-wertige Zufallsvariablen X und Y , so daß gilt:
(a) X und Y besitzen die gleiche Verteilung, aber P[X 6= Y ] = 1.
(b) X und Y besitzen die gleiche Verteilung und P[X = Y ] = α für ein
gegebenes α ∈ (0, 1).
12. Für Wahrscheinlichkeitsmaße µ auf (R, B(R)) definiert man durch
Fµ : R → [0, 1] mit Fµ (x) = µ (−∞, x] , x ∈ R,
die Verteilungsfunktion von µ. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktionen
für die Bernoulli-Verteilung auf {0, 1} mit Parameter p ∈ [0, 1] und die
Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0!
Hinweis: Die mit (∗) gekennzeichnete Aufgabe wird nicht gewertet!
Abgabetermin: 15. November 2007, 1100 Uhr