Klausur: Einführung in die angewandte Mathematik

Uni Bielefeld
WS 2004/05
Heinrich Matzinger
Klausur:
Einführung in die angewandte Mathematik
1)
a) Definieren Sie, was es heisst, dass zwei Ereignisse A und B unabhängig sind.
b)
Geben Sie ein Beispiel unabhängiger Ereignisse.
c)
Geben Sie ein Beispiel von Ereignissen, die nicht unabhängig sind.
2)
Es sei X eine Zufallsvarable. Beweisen Sie, dass E[3X] = 3E[X].
3)
Formulieren und beweisen Sie das Gesetz der großen Zahlen.
4) Angenommen, wir wählen zufällig eine Person aus der Bevölkerung Nordrhein-Westfalens.
Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person
• das Gen a besitzt, sei 30%,
• das Gen b besitzt, sei 40%,
• sowohl das Gen a als auch das Gen b besitzt, sei 10%.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person das Gen a oder das Gen
b, aber nicht beide gleichzeitig besitzt?
5) Bei einem unsymmetrischen vierseitigen Würfel sei die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln,
gleich 0,2, die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer 2 sei ebenfalls 0,2, und die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer 3 und für das Würfeln einer 4 seinen jeweils gleich 0,3.
a) Was ist der Erwartungswert für die gewürfelte Augenzahl?
b) Ihnen wird folgendes Spiel angeboten: Wird eine 1 gewürfelt, bekommen Sie 10Euro,
wird aber eine 2 gwürfelt, so müssen Sie 5Euro zahlen, fällt eine 3, so zahlen Sie 3Euro, und
bei einer 4 zahlen Sie 2 Euro. Was ist der Erwartungswert Ihres Gewinns, wenn ein Verlust als
negativer Gewinn gerechnet wird?
6) Es sei X die Augenzahl beim Würfeln mit dem unsymmetrischen vierseitigen Würfel aus
Aufgabe 5. Bestimmen Sie die Varianz V AR[X] der Zufallsvariablen X.
7) In einem Labor wird dasselbe Experiment sechsmal durchgeführt. Wir nehmen an, dass die
einzelnen Versuche unabhängig voneinander sind und der Erfolg jedesmal mit einer Wahrsheinlichkeit von 30% eintritt. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Versuch genau viermal gelingt?
(Hinweis: Binomialverteilung)
8)
Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
x
2 wenn 0 ≤ x ≤ 2,
f (x) =
0 sonst.
a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F (s) der Zufallsvarialen X.
b)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (1 < X ≤ 3).
9) Der Samen einer bestimmten Blumensorte keimt nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 21 ,
wenn er nicht gedüngt wird, aber mit einer Wahrschienlichkeit von 34 , wenn er gedüngt wird.
Angenommen, ein Hobbygärtner vergisst das Düngen mit einer Wahrscheinlichkeit von 41 . Mit
welcher Wahrscheinlichkeit wird der Samen bei ihm aufgehen?