Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse

Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische
Prozesse - Skriptum
3. Oktober 2012
1
Einführung
1.1
Motivation
Spiele: Würfeln, Karten, Lotto, Münzwurf etc. Empirische Gesetze der großen
”
Zahlen”
6
Würfeln: 106 x: Anzahl Sechser ≈ 166666 = 106
[Graphik]
Wahrscheinlichkeit ist eine Abstratkion von relativen Häufigkeiten. Als weiteres Beispiel schauen wir uns das Würfeln mit 2 Würfeln an (praktisch gesehen
kann auch mit einem Würfel hintereinander gewürfelt werden - für die Mathematik macht das keinen Unterschied).
Beispiel 1. Für den Versuch gibt es (1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6) mögliche Versuchsausgänge. Man spricht hier auch von Elementarereignissen” (in unserem
”
Fall sind es 36 Elementarereignisse)
Bei ({(1, 1), . . . , (6, 6)}) handelt es sich um die Grundmenge”.
”
Ereigniss: Summ der Augenzahlen = 7”: Menge der Elementarereignisse bei
”
denen dieses Erignis eintritt. Für dieses Beispiel:
A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
Definition 1. Ereignisse sind eine Teilmenge der Grundmenge: A ⊆ M (naiv.
jede Teilmenge).
Beispiel 2. Nun erweitern wir das Beispiel 1 um ein weiteres Ereignis: B =
1. Würfel zeigt 6- {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
”
1. A und B gleichzeitig = {(6, 1)} = A ∩ B
2. A oder B (inkl.) = A ∪ B
3. A oder B (exkl.) = A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A)
4. A tritt ein, B aber nicht = A \ B
5. A tritt nicht ein = Ac = M \ A (Komplement)
6. ∅ . . . unmögliches Ereignis
7. M . . . sicheres Ereignis
1
Elementarereignis
Grundmenge
Wahrscheinlichkeit (oder korrekter Weise: Wahrscheinlichkeitsmaß) ist eine
Funktion, die Ereignissen Zahlen zuordnet. Die Funktion muss folgende Eigenschaften besitzen:
Wahrscheinlichkeit
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(M ) = 1
3. P(∅) = 0
4. Additivität A, BA ∩ B = ∅ : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
S
P
5. Sigma Additivität An , n ∈ NAi ∩ Aj = ∅i+j : P( An ) = P(An )
Additivität
Definition 2. Laplacer’scher Wahrscheinlichkeitsraum: jedem Elemtarereignis
wird die selbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet. (z.B.: Münzwurf, Ziehen von Karten, etc.)
1
P(An ) = |M
| dies kann logischer Weise nur für endliche Mengen definiert werden, da ansonsten die Wahrscheinlichkeit des Einzelereignis gegen 0 streben
würde und somit auch die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten null wäre.
Beispiel 3. Münze werfen solange bis das erste Mal SZahl”kommt: An = {
Zahl kommt zum ersten Mal bei n Würfen}, P(An ) = ?
P(A1 ) = 21 , P(A2 ) = 14 , . . . P(An ) = 21n
M=
S
An =⇒ P(M ) =
P
P(An ) =
P∞
n=1
2−n = 1
Beispiel 4.PP(gerade Anzahl von Würfen) = P(A2 ∪ A4 ∪ A6 ∪ . . .) =
∞
1
1
1
n=1 = 4n = 3
26 + . . . =
1.1.1
1
22
+ 214 +
Additionstheorem:
P(A∪B) = (A∪(B\A)) = P(A)+P(B\A) ⇒ P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
Herleitung:
B \ A = B \ (A ∩ B)
(1)
B = (B \ A)
(2)
P(B) = P(B \ A) + P(A ∩ B)
P(B \ A) = P(B) − P(A ∩ B)
(3)
(4)
Definition 3. Allgemeines Additionstheorem:
P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) = P(A1 ) + . . . + P(An )−
P(A1 ∩ A2 ) − . . . − P(An−1 ∩ An )
+ P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + . . . + P(An−2 + An−1 + An )
− P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) − . . . + + . . . − −
. . . + (−1)n−1 ∗ P(A1 ∩ . . . ∩ An )
2
(5)
Sigma Additivität
Laplacer’scher
Wahrscheinlichkeitsraum
1.1.2
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ich weiß, dass B eingetreten ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass
auch A eintritt?
P(A|B) =
P(A ∩ B)
, vorausgesetzt: P(B) > 0
P(B)
Beispiel 5. Fortsetzung des Würfelbeispiels: P(A) = 61 , P(B) = 16 , P(A ∩ B) =
1
36
P(A|B) =
1
36
1
6
C = Summe = 8){(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} P(C) =
P(A|C) = 0 P(B|C) = 15
5
36
A heißt unabhängig von B wenn:
P(A|B) = P(A)
P(A ∩ B)
= P(A) ⇒
P(B)
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
{z
}
|
A und B sind unabhängig voneinder
1.1.3
Multiplikationstheorem
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) wenn A, B unabhängig voneinander sind: P(A ∩ B) =
P(A) · P(B).
Beispiel 6. 52 Karten; 13 Karten von jeder Farbe; Ziehen der Karten nacheinander; (A . . . 1. Karte ist Herz; B . . . 2. Karte ist Herz)
13 12
3
2 Karten ziehen: P(2x Herz) = P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = 52
· 51 = 51
3