Statistik III ¨Ubungsblatt 1: Ränge und Ordnungsstatistiken

Prof. Dr. Ralf Runde
Statistik III
Übungsblatt 1: Ränge und Ordnungsstatistiken
1. Seien X1 , ..., Xn , n = 359, unabhängige, auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Bestimmen Sie ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall,
in dem der Stichprobenmedian (näherungsweise) mit einer Wahrscheinlichkeit von
97% liegt.
2. Beim Einwohnermeldeamt ist die Wartezeit exponentialverteilt mit einer mittleren
Wartezeit von 5 Minuten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 (unabhängigen) Personen höchstens eine länger als 5 Minuten warten muss.
3. Die Gehälter X1 , ..., Xn von Professoren seien unabhängig identisch rechteckverteilt
auf dem Intervall [100.000, 150.000].
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 zufällig ausgesuchten Professoren
höchstens einer mehr als 130.000 Euro verdient.
4. Bestimmen Sie aus der Stichprobe
2.0
2.5
3.0 2.5 3.5
0.4
0.6 1.6 3.5 1.0
alle möglichen 90%-Konfidenzintervalle für den wahren (unbekannten) Median. Welches
Konfidenzintervall würden Sie bevorzugen?
1
5. Seien X1 , ..., Xn u.i.v. mit Dichtefunktion

 x, 0 ≤ x ≤ 2
2
f (x) =
 0, sonst.
(a) Bestimmen Sie für n = 3 die Dichte von X(2) .
(b) Berechnen Sie für n = 2 die Wahrscheinlichkeit, dass das Minimum einen Wert
zwischen 0.5 und 1 annimmt.
6. Seien X1 , ..., Xn unabhängig und identisch Laplace-verteilt mit Dichtefunktion
f (x) =
1 −|x|
e ,
2
x ∈ R.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum höchstens den Wert
Null annimmt.
(b) Berechnen Sie für n = 2 die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum einen Wert
zwischen −1 und 1 annimmt.
7. Sei X geometrisch verteilt mit Parameter q ∈]0, 1[ und Wahrscheinlichkeitsfunktion
f (x) = P (X = x) = (1 − q)q x ,
x = 0, 1, 2, ........
Bestimmen Sie die Verteilung des Minimums X(1) aus einer Stichprobe von X vom
Umfang n.
Hinweis: Leiten Sie erst eine einfache funktionale Form der Verteilungsfunktion von
X her.
2