Ubungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die Stochastik für das

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
WS 2009/2010
Fakultät für Mathematik
apl. Prof. Dr. W. Kahle
Dr. Brigitte Leneke
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Einführung in die Stochastik
für das Lehramt an Berufsbildenden Schulen
Serie 5*
19. Die Lebensdauer X (in Monaten) eines Bauelements bestimmter Art besitzt
die Verteilungsfunktion
FX (t) =
0
für t < 0
1 − exp(−0.2t) für t ≥ 0.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass solch ein Bauelement
länger als 5 Monate funktionstüchtig ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 4 solchen unabhängig
voneinander arbeitenden Bauelementen
(i) genau zwei,
(ii) wenigstens zwei
länger als 5 Monate funktionstüchtig sind?
c) Bestimmen Sie die Zeitdauer t so, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von
p = 0.1 kein Ausfall in [0, t] erfolgt.
20. Eine Metallhobelmaschine stellt Platten her, deren Dicke X normalverteilt ist
mit den Parametern µ = 10 mm und σ = 0.02 mm. Eine Platte sei normgerecht, wenn ihre Dicke höchstens um einen Wert c vom Sollwert 10 mm
abweicht.
a) Es sei c = 0.04 mm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Platte normgerecht?
b) Auf sechs unabhängig voneinander arbeitenden Maschinen des gleichen
Typs wird je eine Platte hergestellt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass höchstens eine dieser Platten nicht normgerecht ist.
c) Wie groß ist der Toleranzparameter c mindestens zu wählen, damit die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Platte normgerecht ist, mindestens 0.99 beträgt?
1
d) Beantworten Sie c), falls die zufällige Plattendicke zwar noch denselben
Erwartungswert und dieselbe Standardabweichung besitzt, ihre Verteilung aber unbekannt ist.
Hinweis: Verwenden Sie die Chebyshevsche Ungleichung.
21. Der elektrische Widerstand eines Stromkreises (in kΩ) wird durch eine normalverteilte Zufallsgröße X mit µ = 150 und σ 2 = 4 beschrieben.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Widerstandswert zwischen 146 und 155 liegt?
b) Kann der Widerstandswert größer als 160 sein?
c) Wie groß darf σ sein, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 der
Widerstandswert zwischen 147 und 153 liegen soll?
22. Eine Maschine füllt Zucker in Tüten ab, die ein Gewicht von 1 000 g haben
sollen. Das tatsächliche Gewicht X (in g) läßt sich auffassen als eine N (µ; σ 2 )–
verteilte Zufallsvariable.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Sollgewicht um mehr
als 15 g unterschritten wird, wenn
(i) µ = 1 000 und σ 2 = 100
(ii) µ = 1 050 und σ 2 = 121 ist?
b) Wie groß darf bei µ = 1 000 die Standardabweichung σ höchstens sein,
damit P (950 ≤ X ≤ 1 050) ≥ 0.98 gilt?
c) Gegeben sei σ 2 = 100 (unabhängig von µ). Auf welchen µ–Wert darf die
Maschine höchstens eingestellt werden, damit P (X ≥ 1 020) ≤ 0.05 gilt?
Im Internet verfügbar unter http://fma2.math.uni-magdeburg.de/∼leneke/einfstoch ws09.htm
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