Blatt 6 - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
6. Aufgabenblatt zur Einführung in die
Stochastik
Abgabe bis Donnerstag, 7. 12. 2006, 13.00
N
Aufgabe 1 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt r ∈ 0 Eier legt, sei durch
die Poissonverteilung zum Parameter λ > 0 gegeben. Aus jedem der sich voneinander
unabhängig entwickelnden Eier schlüpfe mit Wahrscheinlichkeit p eine Larve. Zeigen Sie,
dass die Anzahl der geschlüpften Larven durch die Poissonverteilung zum Parameter pλ
gegeben ist.
Aufgabe 2 Beweisen Sie, dass die hypergeometrische Verteilung gegen die Poissonverteilung konvergiert, dass also für alle k ∈ 0 und λ > 0 gilt:
s r
λk −λ
k n−k
lim
=
e .
r+s
n,r,s→∞
k!
nr/(r+s)→λ
n
N
Aufgabe 3 Sterblichkeitstabellen werden oft unter folgenden Annahmen aufgestellt:
• Ein Mensch, der zum Zeitpunkt t lebt, wird mit der Wahrscheinlichkeit a(t)∆t +
o(∆t) bis zum Zeitpunkt t + ∆t sterben. Hierbei ist a eine nichtnegative, stetige
Funktion.
• Die Wahrscheinlichkeit des Todes zum Zeitpunkt der Geburt ist q0 .
Bestimmen Sie, ausgehend von diesen Annahmen, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
eine gegebene Person das Alter t erreicht.
Hinweis: Verwenden Sie log 1 − ε ≈ −ε.
Aufgabe 4 Ein Buch von 300 Seiten enthalte 200 zufällig verteilte Druckfehler. Berechnen Sie mittels Poissonapproximation die Wahrscheinlichkeit für mehr als einen
Druckfehler auf der ersten Seite. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit der Binomialverteilung?