Blatt 1 SS 2003 D. Kahnert STATISTIK II FÜR WIWI Aufgabe 1. Der Kern eines Transformators besteht aus 25 Blechen mit je einer Isolierschicht (einseitig). Die Dicken der Bleche und der Isolierschichten seien durch unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen Xj bzw. Yj , j = 1, . . . 25, beschrieben, die die Erwartungswerte 0, 8 mm bzw. 0, 2 mm und die Standardabweichungen 0, 04 mm bzw. 0, 03 mm besitzen. a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Blech zusammen mit einer Isolierschicht dicker als 1, 04 mm ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kern dicker als die Spulenöffnung von 25, 5 mm ist? Aufgabe 2. Eine Ersatzteillieferung enthält einen Karton Kugellager, zwei Kartons Zahnräder und drei Kartons Schrauben.Die Kartongewichte (in kg) lassen sich durch unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen X1 , Y1 , Y2 , Z1 , Z2 , Z3 mit E(X1 ) = 125, E(Y1 ) = E(Y2 ) = 84, E(Z1 ) = E(Z2 ) = E(Z3 ) = 65 V ar(X1 ) = 1, V ar(Y1 ) = V ar(Y2 ) = 4, V ar(Z1 ) = V ar(Z2 ) = V ar(Z3 ) = 3 beschreiben. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ersatzteillieferung mehr als 500 kg wiegt? b) Wieviele solcher Ersatzteillieferungen darf man maximal auf einen Lastwagen laden, damit das zulässige Gesamtgewicht der Ladung von 18 Tonnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0, 99 eingehalten wird? Unter geeigneten Annahmen berechne man die maximale Anzahl n. Aufgabe 3. Ein Vertreter weiß erfahrungsgemäß, dass er bei jedem seiner Erstbesuche mit Wahrscheinlichkeit p = 0, 05 einen Verkauf tätigen kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 300 Erstbesuchen wenigstens 10 Verkäufe tätigt? Aufgabe 4. Die mittlere Lebensdauer (in Stunden) eines sehr empfindlichen Maschinenteils betrage 50 mit der Varianz 900. Fällt dieses Maschinenteil aus, so wird es sofort ohne Zeitverlust durch ein Reserveteil ersetzt, welches dieselbe mittlere Lebensdauer und dieselbe Varianz besitzt. Wie viele Maschinenteile sind erforderlich, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 95 die Maschine mindestens 5000 Stunden mit diesen Maschinenteilen läuft? Aufgabe 5. Bei der Verpackung von Kartoffeln in Beutel kann das Normgewicht von 10 kg i.a. nicht exakt eingehalten werden. Die Erfahrung zeigt, dass das Füllgewicht eines Beutels durch eine Zufallsvariable Y = X + 10 beschrieben werden kann, wobei X eine R(−0, 25, 0, 75)-verteilte Zufallsvariable ist. Die abgefüllten Beutel sollen mit einem Kleintransporter befördert werden. Man berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die zulässige Nutzlast von 1000 kg bei Zuladung von 97 Beuteln bzw. 98 Beuteln überschritten wird. (R(a, b)- Verteilung = Gleichverteilung über (a, b))