Aufgabenblatt 5 - Fachrichtung Mathematik
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Fachrichtung Mathematik, Institut für Wissenschaftliches Rechnen Prof. Dr. Jörg Wensch Dr. Ute Feldmann Sommersemester 2016 5. Übung zur Vorlesung Mathematik 4 (II/2) für Elektrotechniker etc. 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Bedienung eines Webstuhles innerhalb von 10 Minuten ein Spulenwechsel vorzunehmen ist, betrage p = 31 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Bedienung von zwölf unabhängig voneinander arbeitenden Webstühlen innerhalb von 10 Minuten bei (a) genau vier Maschinen, (b) allen Maschinen, (c) keiner Maschine, (d) höchstens drei Maschinen, (e) mehr als zwei Maschinen ein Spulenwechsel erforderlich ist? 2. Es sei X eine mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsgröße. Mittels Grenzübergang zur Poissonverteilung ermittle man näherungsweise (a) für n = 100 und p = 0.05: P (X = 5), P (X = 50), (b) für n = 50 und p = 0.02: P (X < 1), P (X = 10), P (X = 1), (c) für n = 30 und p = 0.001: P (X = 0), P (X = 1), P (X > 1). 3. An einem Sommerabend werden durchschnittlich sechs Sternschnuppen pro Stunde beobachtet. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass die Anzahl Xt der in t Minuten beobachteten Sternschnuppen poissonverteilt ist mit dem Parameter µ = αt (α > 0) (a) Man bestimme α. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während einer Viertelstunde mindestens zwei Sternschnuppen beobachtet werden? 4. Die Lebensdauer T eines elektronischen Bauelements sei exponentialverteilt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte fT : 0, t ≤ 0, fT (t) = (λ > 0) −λt λe , t > 0. (a) Man ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Bauelement mindestens bis t = λ−1 , t = 2λ−1 bzw. t = 3λ−1 funktionstüchtig ist. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Bauelement mindestens bis t = kλ−1 (k = 1, 2, . . . ) funktionstüchtig ist, wenn dies bis zum Zeitpunkt t = (k − 1)λ−1 der Fall war? 5. Die Brenndauer X einer Glühlampe sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit einer Varianz von 104 h2 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Brenndauer um mehr als 50 h vom Erwartungswert abweicht? Zusatzaufgabe zum Festigen 6. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Samenkorn nicht keimt, sei p = 0.01. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 Körnern mindestens 3 nicht keimen? Betrachten Sie es einerseits mittels Binomialverteilung andererseits mittels Poissonverteilung und vergleichen Sie die Ergebnisse. Zusatzaufgabe für Fortgeschrittene 7. Vergleich von Poisson- Binomial- und hypergeometrischer Verteilung für große N Seien r von N Glühlampen defekt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis ’von n entnommenen Glühlampen sind k defekt’ mit k = 0 . . . 3 für das Beispiel aus der 4. Vorlesung: N = 10000, r = n1 = 100, n = 100. (Das ist eine Hypergeometrische Verteilung.) Nähern Sie dies durch die Binomialverteilung mit p = r/N an. Nähern Sie dies weiter durch die Poissonverteilung an. Vergleichen Sie die Ergebnisse.
