Extrablatt

Extrablatt zur Vorlesung
Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2
Multiple Choice
SS 07
Priv. Doz. Dr. M. Joachim
Samstag, 30.06.2007
— Achtung: Kreuzen Sie jede richtige Antwort und nur diese Antworten an —
Aufgabe 1: Es wird viermal eine Karte aus einen Skatspiel (32 Karten) gezogen und wieder in
das Deck gemischt. Ein Testkandidat soll nun sagen, welche Karten gezogen wurden und wie
oft diese gezogen wurden. Wieviele mögliche Antworten gibt es?
863040
52360
35960
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass vier verschiedene Karten gezogen werden?
≤ 70 %
≥ 75%
≤ 5%
Aufgabe 2: Wieviele Möglichkeiten gibt es eine acht-elementige Menge in eine zwei-elementige
und zwei drei-elementige Mengen zu zerlegen?
64
560
180
Die Wahrscheinlichkeit, eine Krankheit mit einer gegebenen Therapie zu heilen sei 30%. Weiterhin können bei nicht geheilten Patienten Nebenwirkungen auftreten. In insgesamt 10% der
Fälle treten diese Nebenwirkungen auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 4
Patienten genau zwei geheilt werden und bei genau einem die Nebenwirkung auftritt.
0.7776
0.0054
0, 0648
Aufgabe 3: Wir betrachten die Poissonverteilung mit Parameter λ = 2. Für welche natürliche
n ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {0, 1, ..., n} über 70%?
n=2
n=4
n=3
n = 5.
Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?
Die Poissonverteilung ist eine gute Annäherung für die Binomialverteilung, wenn die Anzahl n der Wiederholungen groß und die Wahrscheinlichkeit für eines der beiden Ergeignisse
des zugrunde liegenden Bernoulli-Experiments sehr klein ist.
Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der Poisson-Verteilung.
→ Aufgabe 4
1
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Multiple Choice / Schriftliche Aufgaben
SS 07
Priv. Doz. Dr. M. Joachim
Samstag, 30.06.2007
Aufgabe 4: Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an:
(a) Beim Würfeln mit zwei Würfeln sind die Ereignisse “Mindestens eine 1” und “die Augensumme ist größer als 3” stochastisch unabhängig.
Richtig
Falsch
(b) Bei einem Laplace-Experiment sind je zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig.
Richtig
Falsch
(c) In einem Wahrscheinlichkeitsraum (X, p) gilt
p(A) ≤ p(B) ⇒ A ⊂ B
p(A) + p(B) = p(A ∪ B) + p(A ∩ B)
(6 Punkte)
Aufgabe 5: In einem Düngungsversuch mit k = 9 Düngungsstufen xi erhielt man Erträge yi .
Die Werte sind in der folgenden Tabelle festgehalten
i
xi
yi
1
2.5
22.0
2
3.0
17.5
3
3.5
27.0
4
4.0
23.0
5
4.5
25.0
6
5.0
22.5
7
5.5
33.0
8
6.0
26.0
9
6.5
35.0
Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
(6 Punkte)
Aufgabe 6: Überprüfen Sie, ob die Funktion

 0
3
f : R → [0, 1], f (x) =
(1 − t2 )
 4
0
für x ≤ −1
für − 1 ≤ x ≤ 1
für x ≤
die Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsgröße sein kann, und berechnen Sie gegebenenfalls
das zugehörige 0.5-Quantil.
(6 Punkte)
→ Aufgabe 7
2
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Schriftliche Aufgaben
SS 07
Priv. Doz. Dr. M. Joachim
Samstag, 30.06.2007,
Aufgabe 7: Es wird eine spezielle Münze 5-mal geworfen. Es wird vermutet, dass die zugehörige
Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Binomialverteilung mit p = 0.5 ist. Prüfen Sie durch Anwendung des χ2 -Prüfverfahrens, ob die Hypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% durch
die folgende Stichprobe vom Umfang 20 widerlegt wird.
Anzahl der Kopfwürfe
Häufigkeit
0
1
1
3
2
5
3
6
4
4
5
1
Zur Lösung der Aufgabe können Sie die folgenden Tabelle verwenden:
Freiheitsgrad m
χ2m,0.05
1
3.84
2
5.99
3
7.81
4
9.49
5
11.07
6
12.59
7
14.07
8
15.51
(6 Punkte)
Aufgabe 8: Es werden zwei Stichproben zur Kontrolle der Größe von Kartoffeln durchgeführt.
Dazu wurde jeweils der Durchmesser in cm ermittelt. Die Ergbenisse sind unten angegeben.
Prüfen Sie anhand des Mann-Whitney-Rangtestes, ob die beiden Stichproben signifikant voneinander abweichen. Setzen dazu für Ihre Aussage eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% an.
Kartoffel-Nr.
Stichprobe A
Stichprobe B
1
10
9.2
2
8.8
2.4
Zusatzinformation: Es ist U7,7,0.05 = 8.
3
8.4
7
4
3.2
6
5
4
6.5
6
7.5
8
7
6
7
(6 Punkte)
3