Mathematik III für Informatiker (CV) WS 2011/12 Otto-von

Mathematik III für Informatiker (CV) WS 2011/12
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Prof. Dr. Wilfried Meidl, Dr. Michael Höding
Übung 6
Aufgabe 6.1 Die Intaktwahrscheinlichkeit bezogen auf die Zeit t betragen
für zwei unabhängig voneinander arbeitende Computernetze 0, 9 bzw. 0, 8.
Sei X die Zufallsvariable für die Anzahl der in der Zeit t intakten Computernetze. Ermitteln Sie
(a) die Verteilungsfunktion F (x),
(b) den Erwartungswert E(X) und die Varianz V (X),
(c) die Wahrscheinlichkeit, dass in der Zeit t wenigstens ein Computernetz
intakt ist.
Aufgabe 6.2 Gegeben ist die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen

für t < 0

 0


 0, 1 für 0 ≤ t < 2
0, 4 für 2 ≤ t < 4 .
F (t) =


0, 8 für 4 ≤ t < 6



1
für t ≥ 6
Berechnen Sie: P (1 < X ≤ 4); P (1 ≤ X ≤ 4); P (X ≥ 3); E(X) und V (X).
Aufgabe 6.3 Die Auswahlwahrscheinlichkeiten bezogen auf ein bestimmtes
Zeitintervall betragen für drei voneinander unabhängig arbeitende Computer
0, 1; 0, 2 bzw. 0, 3. Sei X die Zufallsvariable für die Anzahl der in diesem
Zeitraum ausfallenden Computer. Bestimmen Sie
(a) die Verteilung von X,
(b) E(X) und V (X),
(c) die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Computer ausfällt.
Aufgabe 6.4 Vier gleiche Bauteile für Computer haben die gleiche Zuverlässigkeit von 0, 9. Mit X wird die Anzahl der funktionstüchtigen Bauteile
bezeichnet.
(a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenigstens zwei Bauteile funktionstüchtig sind?
Aufgabe 6.5 Eine Lieferung von 100 Disketten, die 10 fehlerhafte Disketten enthält, wird einer Qualitätskontrolle unterzogen. Hierzu werden 5 der
100 Disketten herausgegriffen und überprüft. Die Lieferung wird zurückgeschickt,
wenn unter den 5 geprüften Disketten mehr als eine fehlerhaft ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung zurückgeschickt?
Aufgabe 6.6 Ein Computernetz besteht besteht aus 10 unabhängig voneinander arbeitenden Computern. Jeder dieser 10 Computer fällt in der Zeit T
mit der Wahrscheinlichkeit 0, 05 aus. Mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschew soll die Wahrscheinlichkeit dafür abgeschätzt werden, dass der absolute Betrag der Differenz zwischen der Zahl der ausgefallenen Computer
und dem Erwartungswert dieser Zufallsvariablen größer als 2 ist.
Votierungswoche: 21.11. - 25.11.2011
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Prof. Dr. Wilfried Meidl, Dr. Michael Höding
Übung 5
Aufgabe 5.1 Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Seien A
das Ereignis ”Der rote Würfel zeigt eine gerade Zahl”, B das Ereignis ”Der
blaue Würfel zeigt eine gerade Zahl” und C das Ereignis ”Die Augensumme ist eine ungerade Zahl”. Sind die Ereignisse A, B und C paarweise unabhängig? Sind die Ereignisse A, B und C unabhängig?
Aufgabe 5.2 Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 7 zu werfen unter der Bedingung, dass wenigstens
einmal die Augenzahl 3 geworfen wird? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die Augensumme 7 ist, falls die Augensumme ungerade ist?
Aufgabe 5.3 An einem Rechnerpraktikum nehmen 100 Studenten teil, von
denen 55 Informatik und 45 Computervisualistik studieren. Zur Lösung einer Aufgabe können die Studenten zwei verschiedene Programme nutzen.
Für das erste Programm entscheiden sich 40 Computervisualisten und 20
Informatiker. Alle anderen wählen das zweite Programm.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein Computervisualistikstudent für das erste Programm entscheidet.
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Informatikstudent das erste Programm benutzt.
(c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Benutzer des
zweiten Programmes Informatik studiert.
Aufgabe 5.4 Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A
mit 0 < P (B) < 1. Beweisen Sie: Aus P (A ∩ B) = P (A) · P (B) folgt
P (A|B) = P (A|B̄).
Aufgabe 5.5 Für eine Firma werden drei Großrechner gekauft. Diese haben unterschiedliche Qualitätseigenschaften. Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass diese länger als 4000 Stunden ausfallfrei arbeiten, betragen 0, 8; 0, 7; 0, 6.
Sei X die Anzahl der Großrechner, die länger als 4000 Stunden ausfallfrei
arbeiten. Bestimmen Sie
(a) die Verteilung von X,
(b) die Verteilungsfunktion,
(c) den Graph der Verteilungsfunktion,
(d) P (X ≥ 1).
Votierungswoche: 14.11. - 18.11.2011
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Übung 4
Aufgabe 4.1 Ein Computernetz besteht aus 4 Computerarbeitsplätzen. Ci
bedeute, dass der i-te Computerarbeitsplatz funktionstüchtig ist (i = 1, 2, 3, 4).
Erfassen Sie die Ereignisse:
(a) Alle 4 Computerarbeitsplätze sind funktionstüchtig.
(b) Genau 3 Computer arbeiten.
(c) Mindestens ein Computerarbeitsplatz fällt aus.
(d) Höchstens ein Computer fällt aus.
(e) Nur der 3. Computer fällt aus.
Aufgabe 4.2 Ein System (Zuverlässigkeitsersatzschaltung) hat folgende Struktur:
(a)
(b)
Ai bedeute, dass das i-te Bauelement während der Zeit t nicht ausfällt und
S, dass das System nicht ausfällt. Drücken Sie die Ereignisse S und S̄ durch
die Ereignisse Ai und Āi aus.
Aufgabe 4.3 Der Name einer Variablen in einem C-Programm ist ein
Wort über dem Alphabet A, das aus Kleinbuchstaben, Großbuchstaben, Ziffern und einem Unterstrich besteht. Der erste Buchstabe des Wortes darf
keine Ziffer sein. Wieviele verschiedene Variablennamen in C sind möglich,
wenn eine Variable durch die ersten 8 Zeichen festgelegt ist? (Beachte: Es
sind auch Namen mit weniger als 8 Zeichen zulässig!)
Aufgabe 4.4 Eine Lieferung von 30 Computern, die durch ihre Fabrikationsnummer unterscheidbar sind, enthält 6 fehlerhafte Geräte.
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Computer aus der Lieferung zu
prüfen?
(b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Computer aus der Lieferung zu
prüfen, die genau zwei fehlerhafte Computer enthalten?
(c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Computer aus der Lieferung zu
prüfen, die höchstens ein fehlerhaftes Stück enthalten?
Aufgabe 4.5 Zum Bau eines Computerchips werden 4 gleichartige Bauelemente benötigt. Von 12 vorhandenen Bauteilen sind 2 defekt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit sind unter den 4 ausgewählten Bauteilen
(a) kein defektes,
(b) genau ein defektes,
(c) 2 defekte Bauteile?
Aufgabe 4.6 Eine aus 100 Produkten bestehende Serie wird folgendermaßen getestet: Es werden nacheinander zufällig und ohne Zurücklegen 5 Produkte ausgewählt. Die Serie gilt als unbrauchbar, wenn mindestens eines der
ausgewählten Produkte unbrauchbar ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Unbrauchbarkeit der Serie, falls sie 5% unbrauchbare Produkte
enthält?
Votierungswoche: 07.11. - 11.11.2011
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Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Prof. Dr. Wilfried Meidl, Dr. Michael Höding
Aufgabe 3.1 Berechnen Sie das Integral
R
Übung 3
f für folgende Funktionen
Q
f : R3 → R:
(a) f (x, y, z) = z 2 − xy mit Q = [0, 2] × [0, 3] × [−1, 1],
(b) f (x, y, z) = xy 2 mit Q = [0, 1] × [−1, 2] × [0, 1].
Aufgabe 3.2
(a) Zeichnen Sie die Gebiete, deren Flächen durch folgende Integrale ausgedrückt werden:
R1 2−x
R 2
R0 R
(i)
dydx
dxdy
(ii)
0
x
−2 y 2 −4
(b) Ermitteln Sie die zu (i) und (ii) gehörenden Integrale durch Veränderung
der Reihenfolge der Integration.
(c) Berechnen Sie die Flächen.
Aufgabe 3.3 Sei f : R2 → R mit f (x, y) =
R
gral f über dem Normalbereich
2y
.
1+x2
Berechnen Sie das Inte-
D
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, −x ≤ y ≤ x2 }.
Skizzieren Sie den Normalbereich D.
R
Aufgabe 3.4 Berechnen Sie das Integral
ex+y dx̄ auf dem Dreieck D ⊂ R2
D
mit den Eckpunkten (1, 1), (1, 2) und (2, 2).
Aufgabe 3.5 Berechnen Sie das Volumen der Menge
D = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 4, x − 1 ≤ y ≤ x + 3, 0 ≤ z ≤ x + y + 4}.
Aufgabe 3.6 Berechnen Sie das Integral
R
f (x)dx für die Funktion
D
f : R3 → R mit f (x, y, z) = xyz für
D = {(x, y, z)T ∈ R3 : 1 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ z ≤ xy}.
Votierungswoche: 01.11. - 04.11.2011
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Prof. Dr. Wilfried Meidl, Dr. Michael Höding
Übung 2
Aufgabe 2.1 Berechnen Sie die zweiten partiellen Ableitungen für
(a) f (x, y) = sin(x · sin y),
(b) f (x, y, z) = xy+z .
Aufgabe 2.2 Berechnen Sie die Jacobi-Matrix und die Hesse-Matrix für
(a) f (x, y) = sin(x · sin y),
(b) f (x, y, z) = xy+z .
Aufgabe 2.3 Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte der Funktion
f : R2 → R mit f (x, y) = x4 + y 4 − 4a2 xy + 8a4 in Abhängigkeit des
Parameters a ∈ R mit a 6= 0.
Aufgabe 2.4 Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte der Funktion
f : R2 → R mit f (x, y) = x3 + 8y 3 − 6xy + 1.
Aufgabe 2.5 In einem Produktionsprozess läßt sich die Abhängigkeit der
Produktionskosten K (in Geldeinheiten) von den Produktionsmengen q1 , q2
und q3 (in Mengeneinheiten) dreier Produkte durch den folgenden Zusammenhang beschreiben:
K(q1 , q2 , q3 ) = 10 + q12 − 2 ln(q1 q2 ) + p22 − 3q2 + 2q32 .
Bestimmen Sie die optimalen Produktionsmengen q1 , q2 und q3 , so dass die
Kostenfunktion K(q1 , q2 , q3 ) ein Minimum annimmt.
Aufgabe 2.6 Welche Punkte der Parabel y = 2 − x2 haben minimalen Abstand zum Nullpunkt, d. h. gesucht sind die Minimalpunkte der Funktion
f : R2 → R mit f (x, y) = x2 + y 2 unter der Nebenbedingung y + x2 − 2 = 0.
Votierungswoche: 24.10. - 28.10.2011
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Prof. Dr. Wilfried Meidl, Dr. Michael Höding
Übung 1
Aufgabe 1.1 Ermitteln Sie den Definitionsbereich D folgender Funktion
f : D ⊆ R2 → R:
p
xy
(a) f (x, y) = y−x
(c) f (x, y) = xy
(b) f (x, y) = x + x2 − y 2
Aufgabe 1.2 Zeigen Sie die Konvergenz der Folge {ak } im R3 , wobei
 k 
a1
k

ak2  ∈ R3
a =
ak3
k k k
) , a2 = (k −
mit ak1 = ( k+2
diese Folge auch im Q3 ?
√
k 2 − 1)k und ak3 = k sin k1 gelte. Konvergiert
Aufgabe 1.3 Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen von
√ √
(a) f (x, y) = xy + y x
(b) f (x, y) = ln( x y)
√
(c) u(x, t) = 2x−t
(d) c(a, b, α) = a2 + b2 − 2ab cos α.
x+2t
Aufgabe 1.4 Gegeben sei die Funktion f : R3 → R mit
q
f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 .
Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Gleichung:
∂f (x1 , x2 , x3 )
∂x
2
+
∂f (x1 , x2 , x3 )
∂x2
2
+
∂f (x1 , x2 , x3 )
∂x3
2
= 1.
Aufgabe 1.5 Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion f : R2 → R
mit f (x, y) = ln(ex + ey ) in Richtung der Winkelhalbierenden des ersten
Quadranten.
Aufgabe 1.6 Sei f : R2 → R mit f (x, y) = (y − x2 )(y − 3x2 ).
(a) Berechnen Sie den Gradienten von f und zeigen Sie, dass dieser nur
im Punkt (0, 0) verschwindet.
(b) Zeigen Sie, dass die Hesse-Matrix Hf (0, 0) positiv definit ist.
Votierungswoche: 17.10. - 21.10.2011
Mathematik III für Informatiker (CV) WS 2011/12
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Prof. Dr. Wilfried Meidl, Dr. Michael Höding
Übung 0
Aufgabe 0.1 Gegeben seien die Funktionen f = R>0 → R mit
x
f (x) = 1+ln
und g : R\{0} → R mit g(x) = (1 + x5 )2x .
x
(a) Untersuchen Sie f (x) auf relative Extremwerte.
(b) Bestimmen Sie lim g(x).
x→∞
Aufgabe 0.2 Zeigen Sie, dass die Funktion s : D → R mit
2
s(t) = t ln1 ct ; c ∈ R der Gleichung t ds
dt + s = −ts genügt.
2
Aufgabe 0.3 Gegeben sei die Funktion g = R → R mit g(x) = 2e−x .
(a) Bestimmen Sie mithilfe der Substitution t = −x2 eine Stammfunktion
der Funktion f (x) = x · g(x).
(b) Bestimmen Sie z. B. mithilfe der partiellen Integration eine Stammfunktion der Funktion h(x) = x2 · f (x).
(c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral
R∞
h(x)dx.
0
Aufgabe 0.4 Von der Bewegung eines Massenpunktes im R3 sei bekannt,
dass die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt t ≥ 0 gleich v(t) = (e−t/2 , 2e−t/2 , 3e−t/2 )
ist. Bestimmen Sie den Ort des Massenpunktes zur Zeit t, wenn er zur Zeit
t0 = 0 im Punkt (2, 1, 0) startet.
Aufgabe 0.5 Ermitteln Sie im Falle ihrer Existenz den Wert folgender uneigentlicher Integrale:
(a)
(c)
R∞
2
xe(−x ) dx
−∞
R1
√1 dx
−1
|x|
(b)
(d)
R∞ ln x
1
Re
1
x2
dx
1
dx.
x(ln(x))2
Aufgabe 0.6 Gegeben sei die Funktion f : R2 → R mit f (x, y) = xe2y − ye2x .
dy
Bestimmen Sie die erste Ableitung y 0 = dx
von y an der Stelle x0 = 0 aus
∂f
der Gleichung f (x, y) = 0 mithilfe der Gleichung ∂f
∂x dx + ∂y dy = 0.
Votierungswoche: 10.10. - 14.10.2011