1.2 Rechengesetze 1.3 Zuverlässigkeit

1.2
Rechengesetze
Komplementäres Ereignis:
Regeln von de Morgan:
allgemeine Additionsregel:
Ac = ¬A = A = Ω\A
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
P (Ac ) = 1 − P (A)
und (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Wenn A und B unvereinbare (disjunkte) Ereignisse [A ∩ B = ∅], dann gilt:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
allgemeine Multiplikationsregel: Falls P (A) > 0 und P (B) > 0, dann gilt:
P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A).
Wenn A und B (paarweise) unabhängig voneinander, dann gilt:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Wenn A1 , . . . , Ak vollständig stochastisch unabhängige zufällige Ereignisse sind, dann
gelten:
P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak ) = P (A1 ) · P (A2 ) · . . . · P (Ak ) =
k
Y
P (Ai )
i=1
P (A1 ∪A2 ∪. . .∪Ak ) = 1−((1−P (A1 ))·(1−P (A2 ))·. . .·(1−P (Ak ))) = 1−
k
Y
i=1
1.3
Zuverlässigkeit
F - System funktioniert
Fi - i-tes Element des Systems funktioniert i = 1, . . . , n
Seriensystem (Reihensystem)
Das System funktioniert, falls alle Elemente des Systems funktionieren.
F = F1 ∩ F2 ∩ . . . ∩ Fn
Das System fällt aus, falls ein Element des Systems ausfällt.
F c = F1c ∪ F2c ∪ . . . ∪ Fnc
2
(1−P (Ai )).
Parallelsystem
Das System funktioniert, falls ein Element des Systems funktioniert.
F = F1 ∪ F2 ∪ . . . ∪ Fn
Das System fällt aus, falls alle Elemente des Systems ausfallen.
F c = F1c ∩ F2c ∩ . . . ∩ Fnc
1.4
BAYES’sche Formel
Voraussetzung:
P (A|B) =
P (B) > 0
bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A unter
der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist
(Wkt. von A unter Bedingung B)
P (A∩B)
P (B)
Totale Wahrscheinlichkeit:
Voraussetzung:
Die Bi (i = 1, . . . , n) bilden eine Zerlegung von Ω.
n
S
Bi = Ω)
(d.h. Bj ∩ Bk = ∅ für j 6= k und
i=1
P (A) =
n
P
P (A ∩ Bk ) =
k=1
n
P
P (A|Bk )P (Bk )
totale Wahrscheinlichkeit für A.
k=1
BAYES’sche Formel:
Voraussetzung:
Die Bi (i = 1, . . . , n) bilden eine Zerlegung von Ω und P (A) > 0.
P (Bi |A) =
P (A|Bi )P (Bi )
P (Bi ∩ A)
= P
n
P (A)
P (A|Bk )P (Bk )
k=1
P (Bi )
P (Bi |A)
a-priori Wahrscheinlichkeiten
a-posteriori Wahrscheinlichkeiten
3
i = 1, . . . , n