Stochastik I, HU Berlin, SS 2013

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. U. Horst
Stochastik I SS 2013
Übungsblatt 10
1.
[Charakteristische Funktion] Die Zufallsvariable X sei poissonverteilt zum Parameter λ > 0.
Bestimmen Sie die zugehörige charakteristische Funktion
ϕX (u) = E[eiuX ]
für u ∈ R.
2.
[Zentraler Grenzwertsatz] Die Fluggesellschaft AirAdlershof weiß aus Erfahrung, dass durchschnittlich nur 270 Plätze von 300 gebuchten Plätzen auch in Anspruch genommen werden.
Deshalb werden mehr Buchungen akzeptiert, als tatsächlich Plätze vorhanden sind. Wie viele
Buchungen für einen Flug dürfen akzeptiert werden, wenn 250 Plätze zur Verfügung stehen
und die Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung kleiner als 3% sein soll? Geben Sie unter
geeigneten zusätzlichen Annahmen einen Näherungswert für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
an.
3.
[Bedingte Wahrscheinlichkeit] Seien (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A mit
P(B) > 0. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B ist bekanntlich definiert als
P(A|B) :=
P(A ∩ B)
.
P(B)
Zeigen Sie:
a) Es sei B1 , . . . , Bn , n ∈ N, eine disjunkte Zerlegung von Ω, wobei Bi ∈ A für i = 1, . . . , n.
Dann gilt für alle A ∈ A:
X
P(A) =
P(A|Bi ) · P(Bi ).
i:P(Bi )6=0
b) Es sei B1 , . . . , Bn , n ∈ N, eine disjunkte Zerlegung von Ω, wobei Bi ∈ A und P(Bi ) > 0
für i = 1, . . . , n. Weiter sei A ∈ A mit P(A) > 0. Dann gilt:
P(Bi |A) =
P(A|Bi ) · P(Bi )
n
P
P(A|Bj ) · P(Bj )
j=1
für i = 1, . . . , n. Dies ist die sogenannte Bayes’sche Regel.
4.
[Testfehler] Sei (Ω, A, P) ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum. Von je 145 Personen einer
Altersgruppe habe eine Person eine bestimmte Krankheit und sei K ∈ A das Ereignis Die
”
Person hat die Krankheit “, es sei also:
P(K) =
1
.
145
Jede Person kann mit einem Test überprüfen, ob sie die Krankheit hat. Weiter sei A ∈ A
das Ereignis Der Test fällt positiv aus “. Es sei weiter bekannt, dass der Test bei 96% der
”
erkrankten Personen das Ergebnis positiv “und bei 94% der gesunden Personen das Ergebnis
”
negativ “liefert, es gelte also:
”
P(A|K) = 0, 96,
P(Ac |K c ) = 0, 94.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(K|A), dass eine Person, bei welcher der Test positiv
ausfällt, auch tatsächlich krank ist und die Wahrscheinlichkeit P(K c |Ac ), dass eine Person,
bei welcher der Test negativ ausfällt, auch tatsächlich gesund ist.