Aufgaben zur ELEMENTAREN STOCHASTIK

Prof. G. Kersting
Blatt 2
SS 2008
Aufgaben zur ELEMENTAREN STOCHASTIK
Abgabetermin: Freitag, den 18.4.2008 vor der Vorlesung
Aufgabe 5. X(1), . . . , X(n) sei eine rein zufällige Permutation von 1, . . . , n.
Wenn das Ereignis {X(i) = i} eintritt, heißt i Fixpunkt der Permutation. Y sei
die zufällige Anzahl der Fixpunkte. Wir wollen im Fall n = 3 die Verteilung von
Y bestimmen. Begründen Sie:
P(Y = 3) = 1/6, P(Y = 2) = 0, P(Y = 1) = 3/6, P(Y = 0) = 2/6.
Aufgabe 6. Die erste Reihe im Hörsaal hat n Plätze, auf die sich m ≤ n/2
Personen setzen. Wie groß ist bei rein zufälliger Wahl der Plätze die Wahrscheinlichkeit, dass keine zwei nebeneinandersitzen? Zählen Sie ab, indem Sie
erst m Personen auf n − m + 1 Plätze setzen und dann m − 1 Plätze dazwi”
schenschieben“. (Zur Kontrolle: Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto (6 aus
49) keine zwei benachbarten Zahlen gezogen werden, ist 0.505.)
Aufgabe 7. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es bei einer uniform
verteilten Besetzung von r Listen mit n Namen zu keiner Kollision kommt.
Formen Sie die Wahrscheinlichkeit um zu
(r − 1)(r − 2) · · · (r − n + 1)
.
(n + r − 1)(n + r − 2) · · · (r + 1)
Aufgabe 8. Sei (Z1 , . . . , Zr ) eine uniform verteilte Besetzung von r Plätzen
mit n Objekten. Zeigen Sie für die Verteilungsgewichte von Z1 :
P(Z1 = k1 ) =
n − k + r − 2 . n + r − 1 1
.
n − k1
n
Formen Sie um zu
P(Z1 = k1 ) =
n
n−1
n − k1 + 1
r
·
···
·
.
n+r n+r−1
n + r − k1 + 1 n + r − k1