Aufgerufene

Übung 2
Prof. Dr. A. WAKOLBINGER
Übungen zur Vorlesung
”
Wintersemester 2014/15
Stochastik für die Informatik “
Abgabe der Lösungen zu den S-Aufgaben: Dienstag, 4. November 2014, vor der Vorlesung (10:05-10:15 im Magnus HS)
5. S 15 Personen (8 Frauen und 7 Männer) werden in rein zufälliger Reihenfolge aufgerufen.
(i) Wie wahrscheinlich ist es, dass die erste aufgerufene Person eine Frau ist?
(ii) Wie wahrscheinlich ist es, dass die zweite aufgerufene Person eine Frau ist? Übersetzen Sie
dies in eine Fragestellung über rein zufällige Permutationen, und formulieren Sie das entsprechende
Ereignis.
(iii) Wie wahrscheinlich ist es, dass die zweite aufgerufene Person eine Frau ist, wenn bekannt ist,
dass die erste aufgerufene Person eine Frau ist?
(iv) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den ersten 5 Aufgerufenen genau zwei Frauen sind?
6. F sei eine rein zufällige Abbildung von {1, . . . , 20} nach {1, . . . , 20}, d.h. eine auf {1, 2, . . . , 20}20
uniform verteilte Zufallsvariable.
(i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist F bijektiv? Berechnen Sie dafür auch die Stirling-Näherung.
(ii) Es sei F k die k-fache Hintereinanderausführung von F . Wir betrachten das Ereignis E7 :=
“die Menge {1, F (1), F 2 (1), . . . , F 6 (1)} hat 7 Elemente und F 7 (1) = 1“. 1 Mit anderen Worten: E7
ist das Ereignis {F erzeugt ausgehend vom Element 1 einen Zyklus mit 7 Elementen}. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit von E7 und finden Sie dafür auch die Stirling-Näherung.
7. (i) (X1 , X2 , X3 ) sei eine uniform verteilte Besetzung von 3 Plätzen mit 10 Objekten. Wie wahrscheinlich ist es, dass kein Platz leer bleibt? Beschreiben Sie die Menge der zugehörigen Ausgänge
in dem in der Vorlesung 2a betrachteten de Finetti-Dreieck.
(ii) Sei r ≤ n. Begründen Sie: Die Anzahl der Besetzungen von r Plätzen mit n Objekten, die
keinen Platz leer lassen, ist gleich der Anzahl der Besetzungen von r Plätzen mit n − r Elementen.
(iii) (X1 , . . . , Xn ) sei eine uniform verteilte Besetzung von r Plätzen mit n Objekten. Wie wahrscheinlich ist es, dass kein Platz leer bleibt?
8. S (i) (X1 , X2 , X3 ) sei multinomialverteilt mit den Parametern n = 10, p1 = 1/9, p2 = 1/3, p3 =
5/9. Wie ist X1 + X3 verteilt?
(ii) (Y1 , . . . , Y10 ) sei eine 10-fache rein zufällige Wahl von Punkten aus einer Kreisscheibe mit
Radius 3. Für j = 1, 2, 3 bezeichne Zj die Anzahl der Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt
der Kreisscheibe zwischen j − 1 und j liegt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
{Z1 = 3, Z2 = 5, Z3 = 2}.
1 Achtung:
an dieser Stelle war in der in der Vorlesung ausgeteilten Version des Übungsblattes ein Fehler.