Robert Knobloch 2. ¨Ubungsblatt Lévy

2. Übungsblatt
Lévy-Prozesse
Robert Knobloch
Aufgabe 1 Sei (Xt )t∈R+ ein Lévy-Prozess mit charakteristischem Exponent Ψ. Zeigen Sie, dass
0
für jedes u ∈ R der Prozess M (u) := (Mt (u))t∈R+ , gegeben durch
0
Mt (u) = eiuXt +tΨ(u)
für alle t ∈ R+
0 , ein Martingal ist.
Aufgabe 2 Ziel dieser Aufgabe ist es, folgenden Satz aus der Vorlesung zu beweisen: Im CramérLundberg-Prozess mit λµ < 1 gilt für η und ρ:
Z
1 ∞
λµ
η(x) =
(1)
F ((y, ∞))dy
sowie
ρ=
µ 0
c
für alle x > 0, wobei F die Verteilung von Y1 bezeichne.
Der Beweis folgt aus folgenden Erkenntnissen über Irrfahrten:
(i) Sei S := (Sn )n∈N eine zufällige Irrfahrt mit S0 = 0 und Sprungverteilung ν. Für jedes n ∈ N
und k ∈ {0, . . . , n} setze Sn,k := Sn − Sn−k . Zeigen Sie, dass
(d)
(S0 , . . . , Sn ) = (Sn,0 , . . . , Sn,n )
für jedes n ∈ N gilt und nutzen Sie diese Erkenntnis um zu zeigen, dass
P ([Sn ∈ dy] ∧ [∀ j ∈ {0, . . . , n − 1} : Sn > Sj ]) = P ([Sn ∈ dy] ∧ [∀ j ∈ {1, . . . , n} : Sj > 0])
für alle n ∈ N und y > 0 gilt.
(ii) Wir definieren
T0− := inf{n ∈ N : Sn ≤ 0}
sowie
T0+ := {n ∈ N : Sn > 0}.
Außerdem sei (Hn )n∈N0 eine Irrfahrt mit H0 = 0 deren Sprungverteilung durch
∀ x ≥ 0 : P (Hn − Hn−1 ∈ dx) = P ST + ∈ dz
0
für jedes n ∈ N gegeben ist. Zeigen Sie, dass
Z
P ST − ∈ dx =
0
R+
0
V (dy)ν(dx − y)
für alle x ≥ 0 gilt, wobei V durch
V (dy) = δ0 (dy) +
X
n∈N
für y ≥ 0 definiert ist.
1
P(Hn ∈ dy)
2. Übungsblatt
Lévy-Prozesse
Robert Knobloch
(iii) Eingebettet in das Cramér-Lundberg-Modell ist eine zufällige Irrfahrt S mit Zuwächsen
(d)
Sn − Sn−1 = ceλ − Y1
für jedes n ∈ N, wobei eλ eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ ist. Zeigen
Sie, dass die Sprungverteilung dieser Irrfahrt
P (Sn − Sn−1 ∈ (−∞, −x)) = E F (eλ/c + x, ∞)
für alle x ∈ R+
0 erfüllt.
(iv) Zeigen Sie, dass
∀ x ∈ R+
0 :
V (dx) = δ0 (dx) +
und benutzen Sie dann (iii) um zu zeigen, dass
Z
P −ST − > x = E F (eλ/c , ∞) +
0
x
Nutzen Sie diese Erkenntnis, um (1) zu beweisen.
2
∞
λ
dx
c
λ
F (eλ/c + y, ∞) dy .
c