¨Ubungen zur Vorlesung ” Stochastik für die Informatik“

Übung 12
Prof. Dr. A. WAKOLBINGER
Übungen zur Vorlesung
”
Wintersemester 2015/16
Stochastik für die Informatik “
Abgabe der Lösungen zu den S-Aufgaben: Dienstag, 2. Februar 2016, vor der Vorlesung (10:05-10:15 im Magnus HS)
49. Für n ≥ 0 sei Sn := {a0 a1 . . . an : ai ∈ {0, . . . , n} paarweise verschieden} und Xn eine
Zufallsvariable mit Wertebereich Sn , wobei die Folge (X1 , X2 , . . .) so aufgebaut wird:
Gegeben Xn = a0 a1 . . . an entsteht Xn+1 so, dass n + 1 rein zufällig in einen der insgesamt n + 2
möglichen Slots “links von a0 , zwischen a0 und a1 , . . . , rechts von an ” platziert wird.
a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Xn ist uniform verteilt auf Sn .
b) Für a = a0 a1 . . . an ∈ Sn sei L(a) die Anzahl der j ∈ {1, . . . , n}, für die j links von 0 steht, und
R(a) die Anzahl der j ∈ {1, . . . , n}, für die j rechts von 0 steht (z. B. ist L(350142) = 2).
Begründen Sie: Gegeben {L(X1 ) = k1 , . . . , L(Xn ) = kn } ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
n +1
{L(Xn+1 ) = kn + 1} gleich kn+2
.
c) Folgern Sie aus b): Für jedes m ∈ N ist ((L(Xn ), R(Xn ))n=1,...,m so verteilt wie die Farbanzahlen
der ersten m Zugänge in einer Pólya-Urne (mit anfänglich einer weißen und einer blauen Kugel in
der Urne).
Feinschmeckern ist an dieser Stelle empfohlen, eine Brücke zu den beiden Beispielen im Buch, Seite 113, zu
schlagen: Sei U = (U0 , U1 , U2 , . . .) eine Folge von unabhängigen, auf [0, 1] uniform verteilte Zufallsvariablen.
Für paarweise verschiedene u0 , u1 , . . . ∈ [0, 1] und n ∈ N sei a0 a1 . . . an =: Πn (u) diejenige Permutation
P
von 0, 1, . . . , n, für die ua0 < ua1 · · · < uan gilt. Außerdem setzen wir Ln (u) := n
j=1 1{uj <u0 } , Rn (u) :=
Pn
j=1 1{uj >u0 } . Dann hat die Folge (Π1 (U ), Π2 (U ), . . .) dieselbe Verteilung wie die Folge (X1 , X2 , . . .), und
folglich ist ((Ln (U ), Rn (U ))n=1,2... so verteilt wie ((L(Xn ), R(Xn ))n=1,2,... Das Gesetz der großen Zahlen
angewandt auf die Folge I{Uj <U0 } , j = 1, 2, . . ., und bedingt unter U0 , liefert dann sofort die interessante
Tatsache, dass der relative Anteil der weißen Kugeln für n → ∞ gegen eine auf [0, 1] uniform verteilte
Zufallsvariable konvergiert.
50. S. a) Wir betrachten eine rein zufällige Folge der Buchstaben A, B, C.
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass das Muster ABA vor dem Muster BAC erscheint?
b) Was ist die erwartete Anzahl der Buchstaben, die auftreten, bis erstmals
(i) das Muster ABA
(ii) das Muster BAC
erscheint? (Zur Erklärung: In der Folge BCABA sind 5 Buchstaben aufgetreten, bis erstmals das
Muster ABA erschienen ist.) Konstruieren Sie hierfür jeweils einen Graphen mit wenigen Knoten,
der den “Weg entlang des Aufbaus des Musters” und die möglichen “Rückschläge” beschreibt.
51. S a) Es sei X0 , X1 , . . . eine gewöhnliche Irrfahrt auf dem nebenstehend skizzierten Graphen mit den Konoten 1,2,3, und Yn := 1{1,2} (Xn ).
2
3
1
Berechnen Sie (i) P(Y3 = 0 | Y0 = 0, Y1 = 1, Y2 = 1) (ii) P(Y3 = 0 | Y0 = 1, Y1 = 0, Y2 = 1)
Ist (Yn ) eine Markovkette?
b) Wieder sei X0 , X1 , . . . eine gewöhnliche Irrfahrt, diesmal auf dem nebenstehend skizzierten Baum mit der Knotenmenge S. Für jeden Knoten k sei h(k) die Tiefe von k (also z.B. h(w) = 0, h(b) = 3).
i) Ist Yn := h(Xn ), n = 0, 1, 2, . . . eine Markovkette?
ii) Wieviele Schritte benötigt die Irrfahrt bei Start in b in Erwartung bis
zum ersten Treffen von w?
iii) Bestimmen Sie die Gleichgewichtsverteilung von (Xn ).
w
S
b
1
52. S. “Kann das Zufall sein?” Die Größe X eines Stücks in einer seriellen Fertigung sei
die Summe aus einem Normwert µ0 und einem “zufälligen Fehler” mit Standardabweichung σ.
Von Stück zu Stück seien die Fehler unabhängig und identisch verteilt. Denken wir uns µ0 als 5,
und stellen wir uns vor, es sei bekannt, dass σ = 0.1 ist. Ein Qualitätskontrolleur entnimmt eine
Stichprobe vom Umfang 30 und misst den Mittelwert 5.1. Wie wahrscheinlich ist eine mindestens
so große Abweichung unter der beschriebenen Hypothese?
1 Dieses Blatt hat - als einziges der insgesamt 12 Übungsblätter - 3 S-Aufgaben. Es bleibt bei der Bemessungsgrundlage von 24 S-Aufgaben; eine der 25 S-Aufgaben ist damit als “Bonus-Aufgabe” anzusehen.