Blatt 7

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TU München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2011/12
Prof. Dr. Thomas Richthammer
Thomas Kochler
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Übungsblatt 7
Tutoraufgaben:
Aufgabe T7.1
Sie wählen rein zufällig eine Zahl n aus {1, 2, ..., N } (N ≥ 1 fest). Anschließend werfen Sie n
Mal eine faire Münze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt die Münze jedesmal “Kopf”?
Aufgabe T7.2
Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B, C ∈ F. Zeigen Sie:
(a) Sind A, B unabhängig, so auch A, B c .
(b) Sind A, B, C unabhängig, so auch A ∪ B, C.
Aufgabe T7.3
In einer Gameshow kann ein Kandidat eine von 3 Türen auswählen. Hinter einer befindet sich
ein Preis, hinter den anderen nichts. Nachdem der Kandidat (rein zufällig) eine Tür gewählt hat,
öffnet der Moderator eine der beiden anderen. Dahinter ist nichts. Der Kandidat hat jetzt die
Möglichkeit, sich noch einmal umzuentscheiden. Sollte er diese Möglichkeit nutzen? Berechnen
Sie die entsprechenden Gewinnwahrscheinlichkeiten unter der Annahme, dass der Moderator
niemals die Tür des Kandidaten öffnet und
(a) rein zufällig eine der beiden anderen Türen öffnet
(b) grundsätzlich eine Tür ohne Preis öffnet, damit das Spiel spannend bleibt.
Hausaufgaben:
Aufgabe H7.1 [4 Punkte]
Eine Firma für Badeartikel produziert Gummienten mit vier verschiedenen Maschinen. Jede
Maschine hat den gleichen Anteil an der Gesamtproduktion. Die Firma wirbt damit, dass ihre
Enten aufrecht schwimmen können. Laut einer internen Untersuchung ist es aber so, dass sich
6% der Gummienten, die an Maschine A hergestellt wurden, nicht aufrecht über Wasser halten
können, bei Maschine B sind es 8%, bei Maschine C 12% und bei Maschine D sogar 14%. Alle
produzierten Enten gehen in den Verkauf.
(a) Sie kaufen eine Ente dieser Firma. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine
aufrecht schwimmende Ente bekommen?
(b) Ihr Nachbar hat leider eine Ente dieser Firma mit Neigung zur Schlagseite erworben. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Ente an Maschine D hergestellt wurde?
(bitte wenden)
Aufgabe H7.2 [3+2 Punkte]
Ein Stab der Länge 1 wird in zwei Schritten in drei Stücke gebrochen. Als erstes brechen wir den
Stab zufällig in zwei Stücke. Danach brechen wir das rechte Stück ein weiteres Mal zufällig in
zwei Stücke. Die beiden Bruchstellen werden durch die Zufallsvariablen X1 und X2 angegeben.
(a) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von X1 gegeben X2 = x2 für x2 ∈ (0, 1).
(b) Sie beobachten, dass genau einer der beiden Bruchstellen aus dem Intervall [x, y] kommt
(0 < x < y < 1). Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Bruchstelle beim ersten Brechen
des Stabes entstanden?
Aufgabe H7.3 [3 Punkte]
Die Zufallsvariable X sei geometrisch verteilt zum Parameter p. Zeigen Sie
P (X > n) = (1 − p)n
und P (X > m|X > n) = P (X > m − n).
für m, n ∈ N und m > n.
Hinweis: Die Zähldichte einer geometrischen Verteilung mit Parameter p ist
ρp (k) = p(1 − p)k−1 1N (k).
Abgabe der Hausaufgaben: Am Freitag, den 09.12.2011, spätestens um 12.15 Uhr, durch
Einwurf in den entsprechenden Übungskasten.
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