STATISTIK II F¨UR WIWI

Blatt 6
SS 2003
D. Kahnert
STATISTIK II FÜR WIWI
Aufgabe 26.
Das Gewicht von Brötchen (gemessen in g) ist zufallsabhängig. Man nimmt
an, dass die Zufallsvariable, die das Gewicht beschreibt, N (µ, 36)-verteilt
ist. Für 81 (zufällig und unabhängig) ausgewählte Brötchen ergab sich das
Durchschnittsgewicht zu x = 37 g.
a) Man überprüfe mittels eines zweiseitigen Tests, ob das Datenmaterial mit der Hypothese H0 : “Das Durchschnittsgewicht der Brötchen
beträgt 38 g” auf dem 5%-Niveau vereinbar ist.
b) Sei nun µ1 = 37 der tatsächliche Wert von µ. Wie groß ist dann die
Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art bei dem in a) angewendeten Test?
c) Der Test in a) soll durch Erhöhung des Stichprobenumfanges so abgeändert
werden, dass unter Beibehaltung der Hypothese H0 und der Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art nun für die Alternative H1 : µ1 = 37 die
Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art kleiner gleich 5% wird. Wie groß muss
der Stichprobenumfang n mindestens gewählt werden, damit dies gewährleistet ist?
Aufgabe 27.
Die Tragfähigkeit von Betonträgern eines gewissen Fabrikats wird als normalverteilte Zufallsgröße aufgefasst. Eine Stichprobe ergab die Werte
200, 201, 203, 206, 209, 211
Man teste zum Niveau α = 0, 05
a) die Hypothese µ = 204 gegen die Alternative µ 6= 204.
b) die Hypothese σ 2 = 25 gegen die Alternative σ 2 6= 25.
Aufgabe 28.
Ein Zufallsgenerator zieht zufällig und unabhängig Zahlen aus {0, 1, 2, . . . , 8, 9}.
Die Zufallsvariable X gebe die gezogene Zahl an:
P (X = k) = 1/10 für k = 0, 1, . . . , 8, 9.
a) Zeigen Sie: V (X) = 33/4.
b) Um den Zufallsgenerator zu überprüfen, kontrollieren wir etwa, ob der
Mittelwert µ = 4, 5 eingehalten wird. Dazu betrachten wir den Test
H0 : µ = 4, 5 gegen H1 : µ > 4, 5 (Alternative).
Wir entscheiden uns für H1 , wenn bei einer Stichprobe X1 , X2 , . . . , Xn
der Mittelwert X größer als 5 ausfällt.
Bestimmen Sie näherungsweise das Testniveau α für die Fälle n = 33
und n = 132.
Aufgabe 29.
Die Lebensdauer von Werkstücken aus einer Produktion werde durch eine
1
a
Gleichverteilung auf einem Intervall [a − 10
, a + 10
] (a > 0) beschrieben.
Behandeln Sie jeweils näherungsweise (mit Hilfe von approximierenden Normalverteilungen) folgende Testprobleme zum Stichprobenumfang n = 12:
a) Entwickeln Sie einen Test zum Niveau α = 0, 05:
H0 : a = 72000
H1 : a < 72000.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei dem Test
H0 : a = 72000
H1 : a = 68000
einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn man sich im Fall x ≤ 70000 für
H1 entscheidet?
c) Zu welcher Entscheidung führt der Test
H0 : a = 72000
H1 : a 6= 72000
zum Niveau α = 0, 05 im Fall x = 70000 ?