Stochastik

Fiedler/Winter
Sommersemester 2016
Stochastik
Übungsblatt 3
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
Abgabe
Montag, den 09.05.2016 um 10:00 Uhr im Übungskasten im WSC-Foyer
Hinweis In allen Aufgaben sei (Ω, P) der jeweils passende Wahrscheinlichkeitsraum. Zufällig“
”
bedeutet zufällig und mit gleicher Wahrscheinlichkeit“, wenn nichts anderes angegeben ist.
”
Aufgabe 1
Wir betrachten nochmals das Treppensteigen aus Übungsblatt 1, Aufgabe 4.
Angenommen, eine der 55 Möglichkeiten wird zufällig gewählt.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die j-te Stufe (j ∈ {0, ..., 9}) besucht wird?
b) Angenommen, die Stufe 3 wird besucht. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass
auch Stufe 6 besucht wird?
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Stufe 6 besucht wird unter der Bedingung, dass die
Stufen 4 und 8 besucht werden.
d) Für welche i, j ∈ {0, ..., 9} sind die Ereignisse Stufe i wird besucht“ und Stufe j wird
”
”
besucht“ unabhängig?
Aufgabe 2
a) Von fünf Karten sind zwei auf beiden Seiten rot, zwei auf beiden Seiten schwarz und die
fünfte hat eine rote und eine schwarze Seite. Eine wird zufällig gezogen und mit einer
zufällig gewählten Seite nach oben auf den Tisch gelegt. Diese Seite ist rot. Wie hoch ist
die Wahrscheinlichkeit, dass auch die nicht sichtbare Seite rot ist?
b) In einer Urne befindet sich am Anfang eine weiße Kugel. Nun wird eine Münze solange geworfen, bis das erste Mal Kopf“ kommt. Jedes Mal, wenn Zahl“ kommt, werden schwarze
”
”
Kugeln in die Urne gelegt, und zwar so viele, dass sich die Anzahl der Kugeln in der Urne
verdoppelt. Am Schluss wird eine Kugel zufällig aus der Urne gezogen. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sie schwarz ist?
Aufgabe 3
Seien A und B Ereignisse. Zeige oder widerlege die folgenden Aussagen:
a) Gilt A = B, so können A und B nicht unabhängig sein.
b) Aus P(A) = 0 folgt im Allgemeinen, dass A und B unabhängig sind.
c) Sind A und B unabhängig, so sind im Allgemeinen auch A und B c unabhängig.
d) Ist A unabhängig von B und B unabhängig von C, so ist auch A unabhängig von C.
Seite 2 von 2
Aufgabe 4
a) Seien A1 , ..., An Ereignisse. Zeige, dass
(
n
\
P(A1 )P(A2 | A1 ) · · · P(An | A1 ∩ · · · ∩ An−1 )
P
Ai =
0
i=1
falls P(A1 ∩ · · · ∩ An−1 ) 6= 0;
sonst.
b) Skat wird mit 32 Karten gespielt, darunter vier Buben. Jeder der drei Mitspieler erhält 10
Karten, und die zwei übrigen Karten bilden den Skat“. Wir nehmen an, dass die Karten
”
so gut gemischt wurden, dass deren Verteilung auf die Spieler völlig zufällig ist. Berechne
die Wahrscheinlichkeit, dass jeder der Mitspieler genau einen Buben auf der Hand hat.
Zusatzaufgabe [4 Punkte]
Beim Spiel Doppelkopf gibt es 48 Karten, und jeder der vier
Mitspieler erhält 12 davon. Jede Karte kommt doppelt vor, d.h. es gibt acht Neunen, acht
Zehnen, acht Buben, acht Damen, acht Könige und acht Asse. Insgesamt existieren 26 Trümpfe.
Die folgenden Teilaufgaben sind mit R zu lösen:
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler höchstens 3 Trümpfe auf
der Hand hat?
b) Berechne für k ∈ {0, 1, ..., 8} die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler genau k
Damen erhält.
c) Stelle das Ergebnis aus b) graphisch dar.
d) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass jeder der vier Spieler genau zwei Damen bekommt.