Klausur zur Vorlesung Stochastik für Ingenieure

Fachbereich 10, Institut für Mathematik
Prof. Dr. D. Fiebig
Wintersemester 2012/2013
Klausur zur Vorlesung Stochastik für Ingenieure
(Höhere Mathematik IV)
3. April 2013
Sie haben 120 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur.
Es sind keine Hilfsmittel zur Prüfung zugelassen.
Bitte kennzeichnen Sie jedes Blatt
mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer.
Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen, Ihren Vornamen, Ihren Studiengang und Ihre
Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFT in die dafür vorgesehenen Felder ein.
Diese Eintragungen werden auf Datenträgern gespeichert.
Name:
Vorname:
Studiengang:
Matr.-Nr.:
Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur dann
bewertet wird, wenn eine Anmeldung vor Beginn der Prüfung besteht.
(Unterschrift)
Die Klausur besteht aus 8 Aufgaben, maximal gibt es 100 Punkte zu erreichen. Die Klausur
ist bestanden, wenn man davon 50% = 50 Punkte erreicht.
Erreichte Punkte
Aufgabe
Punkte
1
2
3
4
5
6
7
8
Summe
Begründen Sie Ihre Rechnungen mit Stichworten und geben Sie die verwendeten Modelle an. Benennen Sie die wichtigen Formeln und Sätze, die Sie verwenden. Einfache Brüche stehen lassen.
Aufgabe 1. (13 Punkte)
1. Es wurde die Rissanfälligkeit von Zahnrädern untersucht. Dabei wurden zufällig aus elf Maschinen der gleichen Produktion nach 20 Betriebsstunden das entsprechende Zahnrad ausgebaut
und gezählt, wieviele Risse in jedem Zahnrad waren. Die Ergebnisse waren:
Anzahl Risse 0 1 2 3 4
Anzahl Zahnräder 3 1 1 1 2
5 6 7
2 0 1
Berechnen Sie die für einen Boxplot benötigten Lage- und Streumaßzahlen. Zeichnen und beschriften Sie dann den Boxplot zu den Daten. (Sie können Brüche als Ergebnis stehen lassen.)
2. Eine Stichprobe vom Umfang 25 ist gegeben:
1
1
1
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5 6
6
6
7
7
Zeichnen Sie dazu das Histogramm mit den Klassengrenzen 0.5, 2.5, 5.5, 7.5 .
Aufgabe 2. (12 Punkte)
1. Die Mannschaften “Flott” und “Schnell” machen ein Wettrennen. Jede Mannschaft hat 3
Läufer. Wieviele Zieleinlaufreihenfolgen gibt es, bei denen die Läufer der Mannschaft “Flott”
die Plätze 1 bis 3 belegen?
2. 20 Studierende werden zufällig auf zwei Übungsgruppen aufgeteilt, wobei die erste Gruppe
Größe 12 hat. Wieviele Gruppeneinteilungen gibt es, bei denen von 3 Freunden genau 2 in die
erste Gruppe eingeteilt werden? (Bruch mit Fakultäten genügt).
3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am gleichen Wochentag geboren
wurden.
4. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 4 Personen mindestens zwei
am gleichen Wochentag geboren wurden. (Formel genügt, nicht ausrechnen.)
Aufgabe 3. (13 Punkte)
1. Es wird mit 2 fairen Würfeln einmal gewürfelt. Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit,
dass die Summe der geworfenen Augenzahlen 7 ist gegeben mindestens einer der beiden Würfel
zeigte eine 6.
2. Eine faire Münze wird 3 mal geworfen. Sei A das Ereignis, dass dabei eine ungerade Anzahl
von “Kopf” erschien. Sei B das Ereignis, dass der erste Münzwurf “Kopf” zeigte. Sind A und
B unabhängig?
3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit 5 Kindern zwei Jungen und drei
Mädchen hat, wenn Jungen- und Mädchengeburten gleichwahrscheinlich und unabhängig sind.
Aufgabe 4. (12 Punkte)
1. Kurt und Uwe schießen unabhängig auf eine Zielscheibe. Kurt schießt 3 mal und trifft jeweils
unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 12 , Uwe schießt 8 mal und trifft jeweils mit Wkeit 14 . Was
ist die Varianz der Anzahl Treffer insgesamt?
2. Sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = µ und V (X) = σ 2 und σ > 0. Sei Y = aX + b.
Bestimmen Sie die Werte a, b mit a > 0 so, dass E(Y ) = 0 und V (Y ) = 1 gilt.
Aufgabe 5. (13 Punkte)
1. Sei X die Anzahl der Dosen, die in einem Recycling Center an einem Tag zurückgegeben werden.
Es sei bekannt, dass E(X) = 50000 und σ(X) = 2500 ist. Geben Sie mithilfe der ChebycheffUngleichung eine untere Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten
Tag mehr als 40000 und weniger als 60000 Dosen zurückgegeben werden.
2. Seien X1 , . . . , X20 unabhängige Zufallsvariablen, jede Poisson-verteilt mit Parameter λ = 45 .
Benutzen Sie den Zentralen Grenzwertsatz um
P (12 < X1 + X2 + . . . + X19 + X20 < 24)
approximativ zu bestimmen. Es ist Φ(1) = 0.84, Φ(2) = 0.98, Φ(3) = 0.998.
Aufgabe 6. (12 Punkte)
Sei f (x) = 3 · x2 falls 0 < x < 1 und f (x) = 0 andernfalls. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz
n
P
Xi , wenn X1 , . . . , Xn unabhängig sind und jedes Xi Dichte f hat.
und Streuung von X = n1
i=1
Aufgabe 7. (13 Punkte)
Die Anzahl der auf einem Filter gezählten Asbestfasern kann als Poisson-verteilte Zufallsvariable X
modelliert werden. Um einen Schätzwert für den unbekannten Parameter λ dieser Poissonverteilung
zu bekommen, wurden die Asbestfasern auf 3 Filtern gezählt, es ergaben sich die Anzahlen x1 =
5, x2 = 4, x3 = 9. Bestimmen Sie hieraus eine Maximum-Likelihood Schätzung für λ.
Aufgabe 8. (12 Punkte)
Das Gewicht von Orangen sei normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter
Varianz σ 2 . Sie kaufen 9 Orangen und bestimmen ihr Gewicht. Das Stichprobenmittel sei 150 und
die Stichprobenvarianz 324 = 18 · 18.
Sie wollen nachweisen, dass der Erwartungswert unter 160 liegt. Was wählen Sie als Hypothese?
Begründen Sie diese Wahl! Führen Sie den passenden Test zum Niveau 0.05 durch.
Quantile
u0.90
u0.95
u0.975
u0.99
der N(0,1)-Verteilung
= 1.28
= 1.64
= 1.96
= 2.33
Quantile von t-Verteilungen
α
t8;α t9;α
t10;α
0.95
1.86
1.83
1.81
0.975 2.31
2.26
2.23