Vorklausur zur Stochastik I - an der Universität Duisburg

Universität Duisburg-Essen
Campus Duisburg
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. D. Belomestny
01.07.2011
Vorklausur zur Stochastik I
vom SoSe 2011
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Matr.-Nr.
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1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
Gesamt
(4)
(4)
(4)
(9)
(9)
(6)
(6)
(8)
(4)
(3)
(4)
(60)
P
=
Bestanden: ≥ 33 Punkte
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Erfolg!
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, A, B ∈ A. Zeigen Sie:
P (A4B) = P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B).
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Eine echte Münze (Zahl/Wappen) wird n mal in unabhängiger Folge geworfen. Die Zufallsvariable Sn ist die Anzahl der dabei erzielten Wappen. Wie
groß soll n sein, dass die Ungleichung
P (0.35 ≤ Sn /n ≤ 0.65) > 0.998
gilt.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Bei einer Prüfung mit ”Multiple-Choice-Fragen” werden drei Fragen gestellt,
wobei für jede der drei Fragen zwei Antworten zur Auswahl vorliegen, von
denen jeweils genau eine richtig ist. Die Antworten werden von einem nicht
vorbereiteten Prüfling rein zufällig und unabhängig voneinander angekreuzt
(Gleichverteilung). Sei Z die Zufallsvariable, welche die Anzahl der richtigen
Antworten angibt.
Bestimmen Sie unter Zugrundelegung eines geeigneten Wahrscheinlichkeitsraums (Ω, A, P ) die Verteilung PZ von Z.
Aufgabe 4 (5 Punkte)
Die Funktion F : IR → IR sei gegeben durch:





0
1/2
F (x) =

(3/8) + (x/8)



1
für
für
für
für
x < 0,
0 ≤ x < 1,
1 ≤ x < 5,
5≤x.
(a) Ist F eine Verteilungsfunktion?
(b) Hat F eine Lebesgue-Dichte?
Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
(c) Falls F Verteilungsfunktion ist und X eine zugehörige Zufallsgröße, was
ist dann
P (−1 ≤ X ≤ 2) =
PX ((0, 2)) =
Aufgabe 5 (9 Punkte)
Die Dichte f der N (µ, σ 2 )-Verteilung ist gegeben als
1
f (x) = √
e
2π σ
−(x − µ)2
2σ 2
, x ∈ IR.
Beweisen Sie:
(a) X ∼ N (µ, σ 2 ) ⇒ Z :=
X −µ
∼ N (0, 1),
σ
(b) Z ∼ N (0, 1) ⇒ X := σZ + µ ∼ N (µ, σ 2 ) für σ > 0.
(c) Sei X ∼ N (24, 9).
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
P (|X| ≥ 21) und P (|X| ≤ 21)
unter Zuhilfenahme einer Normalverteilungstabelle.
Aufgabe 6 (6 Punkte)
Eine stetige Zufallsgröße X hat die Dichte f und die Verteilungsfunktion F .
Berechnen Sie
Z +∞
−∞
f (x)F (x) dx.
Aufgabe 7 (6 Punkte)
Eine Urne U1 enthält 5 schwarze und 25 weiße Kugeln, eine Urne U2 enthält
4 schwarze und 7 weiße Kugeln. Es wird ”zufällig” eine Kugel aus U1 entnommen und unter die Kugeln in U2 gemischt.
Aus der neu gemischten Urne U2 wird ”zufällig” eine Kugel gezogen, sie ist
weiß. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war auch die Kugel, die von U1 nach
U2 gebracht wurde, weiß?
Aufgabe 8 (8 Punkte)
Die Zufallsgrößen X, Y seien unabhängig und Exp(λ)− bzw. Exp(µ)− verteilt, d.h. sie haben die Dichten
(
0
, x<0
−λx
λe
, x ≥ 0,
(
0
, y<0
µe−µy , y ≥ 0.
f (x) =
g(y) =
Die Zufallsgröße Z sei definiert als
Z := min{ X, Y }.
Berechnen sie die Dichte von Z.
Aufgabe 9 (4 Punkte)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist beim Lotto 6 aus 49
1. die zweite gezogene Zahl größer als die erste?
2. die dritte gezogene Zahl größer als die beiden ersten Zahlen?
Aufgabe 10 (3 Punkte)
Für die Zufallsgrößen X, Y gelte:
X ∼ N (µ, σ 2 ), Y = αX + β mit α 6= 0, β ∈ IR.
Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten ρ(X, Y ) und interpretieren Sie
das Ergebnis.
Aufgabe 11 (4 Punkte)
Der Zufallsvektor (X, Y ) habe die Dichte
g(x, y) = λµe−λx−µy , x, y > 0
mit λ > 0, µ > 0.
(a) Was kann man über die Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von X und
Y sagen?
(b) Wie ist X verteilt, wie ist Y verteilt?