Blatt 4
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TU München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2011/12
Prof. Dr. Thomas Richthammer
Thomas Kochler
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Übungsblatt 4
Tutoraufgaben:
Aufgabe T4.1
Die Funktionen F1 , F2 , F3 : R → R seien stückweise definiert durch
x<0
0
0
0
0 ≤ x < 1
x
0.5
0.5x2
.
für
, F3 (x) =
, F2 (x) =
F1 (x) =
0.5x
0.75
0.5x
1≤x<2
2≤x
1
1
1
Entscheiden Sie für jede Funktion Fi , ob sie Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes
Pi auf (R, B) ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Zähldichte oder Dichtefunktion von Pi und
berechnen Sie Pi ({1, 2}), Pi ([1, 2.5]) und Pi ([0.5, 2)).
Aufgabe T4.2
Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen. Sei T das Produkt der Augenzahlen. Definieren Sie T
als Zufallsvariable auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum und bestimmen Sie P (T = 6).
Aufgabe T4.3
Ein Punkt wird zufällig im Einheitskreis gewählt. Sei X der Abstand dieses Punktes vom Mittelpunkt. Definieren Sie X als Zufallsvariable auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
und bestimmen Sie ihre Verteilung.
Hausaufgaben:
Aufgabe H4.1[3 + 1 Punkte]
Es werden zwei Kugeln aus zwei verschiedenen Urnen gezogen, jeweils eine aus jeder Urne. In
der ersten Urne befinden sich vier Kugeln mit der Aufschrift 1 bis 4 und in der zweiten Urne
befinden sich zwei Kugeln mit der Aufschrift 1 und 2. Sei X die Aufschrift der Kugel aus der
ersten Urne und Y das Maximum der Aufschriften beider Kugeln.
(a) Definieren Sie die Zufallsvariablen X und Y auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
und bestimmen sie ihre Verteilungen. Geben Sie ferner die Verteilungsfunktion von X an.
(b) Bestimmen Sie P (X ≤ 2, Y ≥ 2).
(bitte wenden)
Aufgabe H4.2[4 Punkte]
Ein Stab der Länge 1 bricht an einer rein zufälligen Stelle. Sei X das Verhältnis der Länge des
linken zur Länge des rechten Stücks.
Definieren Sie X als Zufallsvariable auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Bestimmen
Sie P (X ≥ 2) und die Verteilungsfunktion von X.
Aufgabe H4.3[4 Punkte]
Im Einheitskreis wird zufällig eine Sehne gezogen indem der Mittelpunktswinkel rein zufällig
gewählt wird (vgl. Version (a) im Beispiel Bertrands Paradox der Vorlesung).
Beschreiben sie die Länge der Sehne als Zufallsvariable X auf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum und bestimme ihre Verteilung.
Abgabe der Hausaufgaben: Am Freitag, den 18.11.2011, spätestens um 12.15 Uhr, durch
Einwurf in den entsprechenden Übungskasten.
