STATISTIK I F¨UR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER

STATISTIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
Klausur am 26.02.2003
Verlangt: alle 4 Aufgaben. Die Ergebnisse sind zu begründen.
Hilfsmittel: 10 einseitig beschriebene DIN A4 Seiten, Taschenrechner, Tafel
der Normalverteilung, Fremdsprachenlexikon
Aufgabe 1.
Die Kosten für Fachliteratur einer Gruppe von Studenten pro Semester werde
durch eine Zufallsvariable X mit einer Dichte der Form
ax + b , 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
0
, sonst
beschrieben.
a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen a und b? Zwischen welchen
Werten variiert b? Hängt f (1/2) von b ab?
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V (X). Für
welche Werte von b werden diese Größen maximal bzw. minimal?
Skizzieren Sie die Graphen der zugehörenden Dichtefunktionen.
Aufgabe 2.
a) Ein regulärer Würfel wird solange geworfen, bis zum m-ten Mal eine
Sechs auftritt (m ∈ N). Eine Zufallsvariable X nimmt den Wert
k(k ≥ m) an, wenn dies beim k-ten Wurf eintritt. Bestimmen Sie
a1) P (X = k) für k ≥ m
a2) P (X > n) für n = 1, 2, . . . im Fall m = 2.
Hinweis: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bei n
Würfen keine Sechs bzw. genau eine Sechs auftritt.
b) Für unabhängige Zufallsvariablen X1 und X2 gelte
P (X1 = k) = P (X2 = k) = (1 − p)k−1 · p
(0 < p < 1; k = 1, 2, . . .).
Berechnen Sie die Werte
P (X1 + X2 = n) =
n−1
X
P (X1 = k)P (X2 = n − k)
k=1
für n ≥ 2.
Aufgabe 3.
a) Eine große Firma beschäftigt zu 40 % Frauen und zu 60 % Männer. Es
wird angenommen, dass die Körpergewichte (in Pfund) normalverteilt
sind. Bei den Frauen liege eine
N (µ1 = 120; σ12 = 100) − Verteilung,
bei den Männern eine
N (µ2 = 154; σ22 = 196) − Verteilung vor.
Wie groß ist der Anteil der Personen a1 ) bei den Frauen, a2 ) bei den
Männern mit einem Körpergewicht zwischen 126 und 154 Pfund? Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus der Belegschaft zufällig
ausgewählte Person zwischen 126 und 154 Pfund wiegt?
b) Eine Münze wird 100-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für “Wappen“ bzw. für “Zahl“ sei jeweils 1/2 bei einem Wurf. Wie groß ist
näherungsweise (bei Approximation durch eine Normalverteilung) die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 60-mal “Zahl“ auftritt?
Aufgabe 4.
Eine Ampel ist abwechselnd eine Minute auf “Rot” und eine Minute auf
“Grün” geschaltet. Sei Z die Wartezeit eines Autofahrers, der zufällig in
einem zweiminütigen Intervall die Ampelanlage erreicht. Bestimmen Sie
a) den Wert P (Z = 0)
b) die Verteilungsfunktion G von Z u. skizzieren Sie den Graphen von G
c) die mittlere Wartezeit E(Z).