Blatt 12

Düsseldorf, 02.07.2009
Mathematisches Institut
Dr. Achim Schädle
Li Luo
Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra – 12. Übungsblatt
Aufgabe 42:
(1 Punkt, Normsphäre)
Für p ∈ N ist die p-Norm k kp des Rn definiert durch
p
kxkp = p |x1 |p + · · · + |xn |p .
Für p → ∞ konvergiert die p-Norm gegen die Maximumnorm k
k∞ :
kxkp → kxk∞ = max{|x1 |, . . . , |xn |}.
Plotten Sie die Einheitssphäre Sp = {x ∈ R2 | kxkp = 1} des R2 für p = 1, 2, 3, ∞.
Hinweis: Verwenden Sie dazu die Funktion ezplot.
Aufgabe 43:
(1 Punkt, Störungen von Eigenwerten)
Sei Jn (λ) der n × n Jordanblock mit Eigenwert λ,

λ


Jn (λ) = 


d.h.:
1
..
.
..



.

..
. 1
λ
.
Sei E eine n×n Zufallsmatrix mit Einträgen im Interval [−0.5, 0.5]. Sei µ(ε) die Menge der (komplexen)
Eigenwerte der Matrix Jn (λ) + εE.
Schreiben Sie eine Funktion plot ev perturbation(n, lambda, epsilon), die λ und µ(εi ) für jeden
Eintrag εi des Vektors epsilon in der komplexen Ebene darstellt.
Testen Sie die Funktion mit n = 5, 6, λ = 1 und epsilon=[10^ -4, 10^ -6, 10^ -10].
Befehle: diag, rand, eig
1
(2 Punkte, Monte-Carlo-Simulation)
Aufgabe 44:
Schreiben Sie eine Funktion random walker(A, m), die einen Spaziergänger simuliert, der in dem
durch die Adjazenzmatrix A beschriebenen gerichteten Graphen zufällig m Knoten besucht.
Zufällig soll hier bedeuten, dass der Spaziergänger, falls vom Knoten j mehrere Verbindungen zu
anderen Knoten bestehen, er zufällig (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) einer dieser Verbindungen
folgt. Falls vom Knoten j keine Verbindungen ausgehen, so beamt er sich zufällig in einen beliebigen
Knoten.
Nach jedem Übergang soll die Funktion die relative ’Beliebtheit’ jedes Knotens d.h. die Anzahl der
Besuche in einem Knoten geteilt durch die Gesamtzahl der Besuche, in einem Balkendiagramm darstellen.
Testen Sie die Funktion mit folgendem Graphen und m=1000:
1
2
3
4
5
6
7
Abgabe bis zum Montag, dem 13. Juli 2009, einschließlich.
Aktuelle Hinweise zur Vorlesung, Begleitmaterial und Übungsblätter finden Sie unter:
http://www.opt.uni-duesseldorf.de/~luo/de/lehre/matlabss09/.
2