Effiziente Algorithmen II - IWR Heidelberg

Prof. Dr. Gerhard Reinelt
Dipl.-Math. Stefan Wiesberg
Institut für Informatik
Universität Heidelberg
Effiziente Algorithmen II
5. Übungsblatt, WS 2012/13
Abgabetermin: 29.11.2012
Aufgabe 9
Das Graphische Traveling Salesman Problem (GTSP) besteht darin, in einem Graphen G = (V, E) mit
Kantengewichten ce ∈ Q+ , e ∈ E, einen geschlossenen Pfad
u0 , e0 , u1 , . . . , uk−1 , ek−1 , uk ,
wobei ej = uj uj+1 ∈ E und uk = u0 , zu finden, der alle Knoten besucht“, d.h. V = {u0 , . . . , uk−1 }, und
”
Pk−1
dessen Gewicht j=0 cej unter diesen Bedingungen minimal ist. (Kanten- und Knotenwiederholungen sind
erlaubt.)
a) Transformieren Sie das GTSP auf das TSP.
b) Eine Relaxierung für das GTSP ist durch folgendes LP gegeben:
min
cT x
x(δ(U )) ≥
xij
≥
2
0.
∀ ∅ 6= U ⊂ V
Geben Sie ein Beispiel für einen Graphen, Kantengewichte c und eine ganzzahlige Optimallösung
x ∈ Zm dieses LPs an, so dass x keinen geschlossenen Pfad darstellt.
c) Zeigen Sie, dass eine Multimenge M 0 über einer Teilmenge E 0 ⊆ E der Kanten genau dann eine
zulässige Lösung für das GTSP bildet, wenn der von M 0 induzierte Multigraph zusammenhängend ist
und für jedes v ∈ V eine positive, gerade Anzahl von zu v inzidenten Kanten enthält.
Aufgabe 10
Betrachten Sie die LP-Relaxierung
max
cT x
aT x ≤ b
0 ≤ xi ≤ 1
des 0/1-Knapsack-Problems. Wie erhält man die Optimallösung dieser Relaxierung in O(n log n)? Beweisen
Sie die Korrektheit Ihres Algorithmus.
Aufgabe 11
Geben Sie eine LP-Relaxierung zur Bestimmung von unteren Schranken für das Knoten-ÜberdeckungsProblem an. Wie schlecht kann das Verhältnis von Optimum und unterer Schranke höchstens sein? Geben
Sie auch ein Beispiel an, in dem dieses Verhältnis (nahezu) angenommen wird.
Prof. Dr. Gerhard Reinelt
Dipl.-Math. Stefan Wiesberg
Institut für Informatik
Universität Heidelberg
Effiziente Algorithmen II
5. Präsenzaufgabenblatt, WS 2012/13
Übungstunde am 20.11.2012
Aufgabe I
Beim Linear-Ordering-Problem sind n Objekte in eine Reihenfolge zu bringen. Dabei wird ein Bonus cij für
alle verschiedenen i, j ∈ {1 . . . , n} gutgeschrieben, wenn sich Objekt i weiter vorne in der Anordnung als
Objekt j befindet. Gesucht ist eine Reihenfolge, welche den Gesamtbonus maximiert.
Geben Sie eine Gütegarantie für die folgende Heuristik an und zeigen Sie, dass diese bestmöglich ist.
Bestimme zufällig eine Anordnung L der n Objekte. Sie L die Anordnung, welche durch Invertierung
der Anordnungsreihenfolge in L entsteht. Gib die bessere der beiden Anordnungen L und L zurück
(oder L, falls sie gleich gut sind).
Aufgabe J
Beim Max-k-Cut-Problem ist ein Graph G = (V, E) mit KantengewichtenP
cuv ≥ 0 gegeben. Es soll nun
jedem Knoten v ∈ V eine Zahl P (v) ∈ {1, . . . , k} zugewiesen werden, sodass uv∈E,P (u)6=P (v) cuv maximiert
wird.
Geben Sie eine Gütegarantie für die folgende Heuristik an und zeigen Sie, dass diese bestmöglich ist. Betrachten Sie dabei zunächst den Fall k = 2 (Max-Cut-Problem) gesondert.
1. Sei Z = ∅ die Menge der bereits zugewiesenen Knoten.
2. Für jeden Knoten v ∈ V :
2.1 Weise v diejenige Zahl i P
∈ {1, . . . , k} zu, welche den aktuellen Zielfunktionswert am meisten
erhöht, d.h. i maximiert uv∈E,u∈A,i6=P (u) cuv . Gibt es mehrere solche Partitionen, wähle eine
davon zufällig aus. Setze Z = Z ∪ {v}.
3. Gib die Werte P (v) für alle v ∈ V zurück.