Herleitungen geometrischer Aussagen

Herleitungen geometrischer Aussagen
1. Im Dreieck △ABC sind Mb und Mc die Seitenmitten von [AC] bzw. [AB].
(a) Zeige, dass dann gilt: BC = 2 · Mc Mb und Mc Mb ||BC
(b) Begründe, dass sich die Seitenhalbierenden [Mb B] und [Mc C] gegenseitig im
Verhältnis 1 : 2 teilen.
nach: Bayerischer Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien
Lösung: (a) Strahlensatz am Zentrum A
(b) Strahlensatz am Zentrum S, dem Schnittpunkt von Mb B und Mc C
2. In einem beliebigen Dreieck werde zu einer Dreiecksseite eine Parallele gezeichnet,
welche die beiden anderen Seiten in zwei verschiedenen Punkten schneidet. Zeige,
daß deren Verbindungsstrecke von der Seitenhalbierenden der ursprünglichen Dreiecksseite halbiert wird.
Hinweis: Verwende den Strahlensatz!
Lösung:
3. Im Dreieck ABC schneidet die Winkelhalbierende
wγ die Seite [AB] im Punkt T . B ′ ist der Schnittpunkt der Geraden AC mit der Parallelen zu wγ
durch B.
(a) Begründe durch Berechnung von Winkeln:
Das Dreieck BCB ′ ist gleichschenklig.
B′
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γ ..
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C
w
A
T
B
(b) Beweise mit dem Strahlensatz: AT : BT =
AC : BC
Lösung:
4. Beweise den
T-Satz“:
”
AB
SP
=
CD
SQ
(a)
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B ...... .......................
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....... .. D
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P ....
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Q
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S ....
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C
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A ....
Lösung:
1
(b)
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....... .... B
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...........C
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... P
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Q ............................... ............... S
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.. A
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..
D
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5. In der folgenden Strahlensatzfigur sind AB und
A′ B ′ parallel, die Längen AB, A′ B ′ und AA′ seien
bekannt. Leite Formeln zur Berechnung von ZA
und ZA′ her.
Lösung: ZA =
AA′ ·AB
,
A′ B ′ +AB
ZA′ =
′
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′
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B
A
Z
B
A
AA′ ·A′ B ′
A′ B ′ +AB
6. In einem beliebigen Dreieck ABC sei E ein Punkt auf [BC] und F ein Punkt auf
[AC]. Es gelte
1
AF
BE
=
= .
2
FC
EC
(a) Fertige eine saubere beschriftete Skizze an.
(b) Begründe: Die Gerade F E ist parallel zur Geraden AB.
(c) In welchem Verhältnis teilt [BF ] die Strecke [AE]?
Lösung: (b) SC; 3 bildet F auf A und E auf B ab =⇒ F E k AB
2
(c) 3 : 2
D
7. Im Parallelogramm ABCD ist M der Schnittpunkt der Diagonalen und P der Mittelpunkt der
Strecke [AM]. In welchem Verhältnis teilt die Gerade DP die Parallelogrammseite [AB]? Zeichne
eine Planfigur und begründe genau.
C
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q
M
P
q
A
X
B
Lösung: Aus der Zeichnung entnimmt man AX : CD = 1 : 3. Also teilt X die Seite [AB] im
Verhältnis 1 : 2.
8. Die Strecken [BB ′ ] und [CC ′ ] sind Höhen des Dreiecks ABC.
C
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B ′.........................
(a) Beweise ABB ′ ∼ ACC ′ .
(b) Begründe an einem Beispiel, daß die Dreicke
BB ′ C und CC ′ B nicht immer ähnlich sind.
A
C′
Lösung: (a) Die Dreiecke stimmen im Winkel bei A und dem rechten Winkel überein.
(b) Wähle z. B. α = 300 , <
) CBB ′ = 100 , so ergibt sich <
) C ′ CB = 200 . Die Dreiecke
haben also verschiedene Winkel.
2
B