Herleitungen geometrischer Aussagen

Herleitungen geometrischer Aussagen
1. Untersuche, ob man aus den angegebenen Beziehungen auf die Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und RST schließen kann. Wenn ja, nach welchem Ähnlichkeitssatz?
(a) b : c = s : r,
(b) α = ρ,
α=τ
β=τ
b
α
A
C
γ
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c
a
β
T
τ
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s
ρ
B
R
t
r
σ
S
Lösung:
2. Das Dreieck ABC ist rechtwinklig mit einem rechten Winkel bei C. Der Fußpunkt
D der Höhe h zerlegt [AB] in zwei Abschnitte der Längen p und q.
C
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(a) Zeige: Die Dreiecke ADC und
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CDB sind ähnlich.
γ γ
(b) Folgere daraus: h2 = pq.
h
α
A
q q
p
D
q
β
B
Lösung:
3. Beweise folgende Aussagen anhand einer übersichtlichen Skizze:
(a) Die Längen der Höhen von zwei Ecken eines beliebigen Dreiecks aus verhalten
sich umgekehrt wie die Längen der zugehörigen Seiten.
(b) Die Längen der Höhen von zwei Ecken eines beliebigen Dreiecks aus verhalten
sich wie die Entfernungen der Höhenfußpunkte von der dritten Ecke.
Lösung:
4. Im Dreieck ABC betragen die Winkel α = 400 und β = 600 . Beweise: Die Winkelhalbierende wγ zerlegt das Dreieck in zwei Teildreiecke, von denen eines zum ganzen
Dreieck ähnlich ist.
Lösung: Die Winkelhalbierende schneidet die Seite c in D. Dann ist CBD ∼ ABC, weil die Dreiecke
in den Winkelmaßen übereinstimmen.
5. In einem Dreieck ABC gilt die Winkelbeziehung γ = 2α. Die Winkelhalbierende wγ
trifft [AB] in D.
1
(a) Begründe anhand einer übersichtlichen Skizze genau, dass eines der beiden
entstehenden Teildreiecke zum ganzen Dreieck ähnlich ist.
(b) Gib die entsprechenden Streckenverhältnisse im jeweils ähnlichen Dreieck an:
CD : BC = ? ;
AB : BC = ?
Lösung: (a): △CBD ∼ △ABC
(b): CD : BC = AC : AB;
AB : BC = BC : BD
6. Beweise den Satz: Die Längen der Höhen von zwei Ecken eines Dreiecks verhalten
sich wie die Abstände ihrer Fußpunkte von der dritten Ecke.
Lösung: Beweis mit Hilfe der Ähnlichkeit geeigneter Dreiecke.
7. Im gleichschenkligen Dreieck ABC ist γ = 36o ,
AB = 3, 0 cm und AC = 4, 9 cm.
(a) Zeige, daß die Halbierende des Basiswinkels
6< BAC das Dreieck ABC so zerlegt, daß ein
Teildreieck dem ganzen Dreieck ähnlich ist.
(b) Berechne AD, DC und BD!
C..
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γ
D
A
B
Lösung: (a) △ABD ∼ △ABC nach WW-Satz
(b) AD ≈ 3 cm , DC ≈ 3 cm und BD ≈ 1, 9 cm
8. Zwei Kreissehnen [AC] und [DP ] schneiden
sich in einem Punkt P .
(a) Beweise: Die Dreiecke BCP und DP A
sind ähnlich.
(b) Leite daraus folgende Gleichung her:
u·v = x·y
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D
A
v
x
P
u
B
y
C
Lösung: (a) Übereinstimmung in zwei Winkelmaßen (Scheitelwinkel und Umgangswinkel über
[CD]).
2
(b) Strahlensatz
9. Gegeben sei ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. S bezeichne den Schnittpunkt der Basishöhe mit der Winkelhalbierenden eines Basiswinkels. Beweise anhand einer übersichtlichen Skizze (Schenkellänge a) folgende Aussagen:
√
(a) S teilt die Winkelhalbierende eines Basiswinkels im Verhältnis ( 2 + 1) : 1 ,
√
(b) S teilt die Basishöhe im Verhältnis 2 + 1 .
Hinweis: Beachte zunächst, daß die Winkelhalbierende des Innenwinkels eines Dreiecks die Gegenseite im Verhältnis der anliegenden Seiten teilt und verwende dann
ähnliche Dreiecke!
Lösung:
3