2. Übungsblatt - Universität Potsdam

Universität Potsdam
Vorlesung Theoretische Physik I (LA)
M. Rosenblum
Institut für Physik
WS 13/14
Übung 2 : Harmonischer Oszillator.
(Besprechung in der Woche vom 04.11.13)
Aufgabe 2.1
Man betrachte die Lösung
x(t) = A cos(ω0 t + φ0 )
des linearen harmonischen Oszillators
ẍ + ω02 x = 0.
A und φ0 seien bekannte Konstanten.
1. Berechnen Sie den Maximalausschlag xm und die Zeit t1 bis zum Erreichen von xm . Welche Werte haben die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zur Zeit t1 ?
2. Wie groß ist die maximal erreichte Geschwindigkeit ẋm und nach welcher
Zeit t2 wird sie erreicht? Welcher Zusammenhang besteht zwischen xm
und ẋm ?
3. Berechnen Sie die maximale Beschleunigung ẍm und die Zeit t3 bis zum
Erreichen von ẍm . Wie groß sind Geschwindigkeit und Auslenkung zu
dieser Zeit?
Aufgabe 2.2
Man betrachte den harmonischen Oszillator mit Dämpfung. Die Dämpfungskonstante β soll gerade halb so groß sein wie die kritische Dämpfung.
1. Wie groß ist die Periodendauer τ der Schwingung im Verhältnis zum
ungedämpften Fall β = 0?
2. Bestimmen Sie das Verhältnis der maximalen Auslenkungen (Amplituden) zweier aufeinanderfolgender Schwingungen.
Aufgabe 2.3
Betrachten Sie den gedämpften harmonischen Oszillator mit Eigenfrequenz
ω0 . (Die Dämpfungskonstante β ist kleiner als die kritische Dämpfung.) Der
Oszillator wird mit periodischer Kraft F = F0 cos νt getrieben, wobei ν 6= ω0
ist.
1. Finden Sie die allgemeine Lösung für die Auslenkung als Summe der
allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:
x(t) = xH (t) + xS (t).
2. Nach einer Einschwingzeit geht die Lösung in eine stationäre Bewegung
x(t) = xS (t) über, da limt→∞ xH (t) → 0. Bestimmen Sie die Anfangsbedingungen so, dass die Einschwingzeit Null ist.
Aufgabe 2.4
Betrachten Sie einen Federschwinger mit Federkonstante k und Masse m, der
senkrecht zur Erdoberfläche aufgehängt ist und auf dem die Erdanziehungskraft wirkt.
1. Schreiben Sie die homogene Lösung auf.
2. Finden Sie eine spezielle Lösung für die Erdanziehungskraft.
3. Schreiben Sie die komplette Lösung auf und interpretieren Sie den Einfluss der Schwerkraft auf das Verhalten des Pendels.
Aufgabe 2.5
Betrachten Sie ein Fadenpendel mit kleinen Auslenkungen. Der masselose Faden hat die Länge l und an seinem Ende die Masse m. Auf die Masse wirkt
die Erdanziehungskraft F=-mg.
1. Finden Sie die Differentialgleichung, die diese Problem beschreibt und
bestimme mit Hilfe dieser die Frequenz des Pendels.
2. Das Pendel erreicht bei maximaler Auslenkung die maximale potentielle Energie. Finden Sie eine Gleichung für diese in Habhängigkeit der
maximalen Auslenkung.
3. Während des Schwingvorgangs wird die potenzielle Energie in kinetische
Energie umgewandelt. Vergleichen Sie die freiwerdene potenzielle mit der
maximalen kinetischen Energie und bestimmen Sie daraus die Frequenz
des Schwingers.
Hinweis: Für kleine Winkel gilt sin(α) ≈ α und cos(α) ≈ 1 − 21 α2