Ubungsblatt 3

Finite Elemente Methoden
WS 2005/06
J.M. Melenk
Übungsblatt 3
Diskussion des Blattes: Di., 8.11.2005, in Übung
1.
Sei Ω1 = (−1, 0) × (0, 1), Ω2 = (0, 1) × (0, 1), Ω = (−1, 1) × (0, 1). Sei u ∈ C(Ω) und gelte
u|Ωi ∈ C 1 (Ωi ), i ∈ {1, 2}. Zeigen Sie: u ∈ H 1 (Ω). Was passiert, wenn man die Forderung der
Stetigkeit über die Kante {(0, y) | y ∈ (0, 1)} fallen läßt?
2.
Sei Ω = (−1, 1),
1 − |x| x ∈ (−1, 1)
0
x ∈ R \ [−1, 1]
die Folge der rationalen Zahlen in Ω. Zeigen Sie: die Funktion
X 2−i
u(x) =
ϕ((x − qi )2i )
2
i
i∈N
ϕ(x) :=
Sei (qi )i∈N
ist ein Element von H 1 (Ω). Ist u bei x ∈ Q ∩ (0, 1) klassisch differenzierbar?
3.
Sei B : V × V → R eine symmetrische, koerzive Bilinearform, k · kE die Energienorm, l ∈ V ′ .
Sei u ∈ V die Lösung von B(u, v) = l(v) für alle v ∈ V und uN ∈ VN ⊂ V die Galerkinapproximation. Sei G ∈ V gegeben. Zeigen sie:
|B(u, G) − B(uN , G)| ≤ ku − uN kE inf kG − vkE .
v∈VN
4.
Betrachten Sie für eine Konstante c ≥ 0 das Randwertproblem
Lu := −u′′ + cu = f
auf Ω = (−1, 1),
u(±1) = 0.
(1)
Die Greensche Funktion G(x, y) für den Operator L ist die Lösung des Problems
B(v, G(x, ·)) = v(x)
∀v ∈ C0∞ (Ω).
(2)
a) Zeigen Sie: Für jedes x gilt (2) gilt nicht nur für alle v ∈ C0∞ (Ω) sondern auch für alle
v ∈ H01 (Ω).
b) Zeigen Sie: Für jedes feste x löst G(x, ·) die homogene Differentialgleichung (1) auf
(−1, x) ∪ (x, 1) und erfüllt die Randbedingungen; weiterhin ist G(x, ·) stetig bei x und
der Sprung der Ableitung bei x ist −1.
Geben Sie G(x, ·) für c = 0 sowie für c = 1 explizit an.
c) Betrachten Sie den Fall c = 0. Zeigen Sie: Für beliebige Gitter ist die FEM-Approximation
uN ∈ S01,1 (T ) gerade der stückweise lineare Interpolant der (gesuchten) exakten Lösung,
d.h. u(xi ) = uN (xi ) für alle Knoten xi des Gitters. Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 3.
d) Betrachten Sie nun den Fall c = 1. Zeigen Sie folgende Superkonvergenzaussage: Falls
u ∈ C 2 ([0, 1]) ist, dann gilt für den maximalen Fehler in den Knoten:
max |u(xi ) − uN (i)| ≤ Ch2 ,
i
h = max hi .
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 3.
Die Übungsblätter sind als Postscript-Dateien über das Internet verfügbar unter:
www.anum.tuwien.ac.at/~melenk/teach/fem_WS0506/
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