Serie 1 - Universität Basel

Numerik der partiellen Differentialgleichung I
Prof. Dr. M. Grote, J. H. Tang
Mathematik, HS 2016
Universität Basel
Serie 1
zur 38. KW (19.09. – 23.09.2016)
Aufgabe 1.1
(a) Betrachten Sie die Funktion u : R3 → R mit
u(x1 , x2 , x3 ) =
2
,
(x12 + x22 + x32 )α
wobei (x1 , x2 , x3 ) , (0, 0, 0) und α > 0. Berechnen Sie
∂u ∂2 u
,
, ∇u und ∆u.
∂x1 ∂x22
(b) Betrachten Sie das Vektorfeld v : R3 → R3 mit
v(x1 , x2 , x3 ) = ( x1 e−x2 x3 , x2 x3 − 2x12 , cos(5x2 + x12 ))
Berechnen Sie den Gradient ∇v und die Divergenz div v.
Aufgabe 1.2
Seien u, v ∈ C 2 (Ω) für Ω ⊂ R2 . Beweisen Sie die 2. Green’sche Formel
!
"
Z
∂u
∂v
ds.
u∆v − v∆u dx dy =
u −v
∂n
∂n
Ω
∂Ω
Aufgabe 1.3 (Stetige Abhängigkeit von den Randdaten)
Sei ui ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), i = 1, 2, die Lösung vom Problem
−∆ui = f
in Ω,
ui = gi (x) auf ∂Ω .
Zeigen Sie, dass |u1 (x) − u2 (x)| ≤ sup |g1 (x) − g2 (x)| für alle x ∈ Ω gilt.
x∈∂Ω
Aufgabe 1.4
Sei Ω ⊂ R2 ein beschränktes Gebiet mit Rand ∂Ω stückweise C 1 . Beweisen Sie den Gaussschen Integralsatz
"
Z
Ω
div Fdx dy =
F · n ds,
∂Ω
wobei F : Ω → R2 stetig differenzierbar ist und div F :=
Spezialfall Ω = (0, 1)2 .
1
∂
∂
F1 (x, y) + F2 (x, y), für den
∂x
∂y
Aufgabe 1.5
Betrachten Sie die Wärmeleitungsgleichung
ut = σu xx , 0 < x < l ,
u(0, t) = u(l, t) = T 0 ,
wobei σ , 1 und T 0 , 0. Für die Transformation
τ = αt , ξ = βx , v = u + γ ,
definieren Sie die Konstanten α, β und γ so, dass Sie das Problem
vτ = vξξ , 0 < ξ < π ,
v(0, τ) = v(π, τ) = 0 ,
bekommen.
Aufgabe 1.6 (P)
Schreiben Sie einen MATLAB-Code zur numerischen Lösung der eindimensionalen PoissonGleichung
−u00 (x) = f (x) in (0, 1),
u(0) = a,
u(1) = b .
Dabei sei f (x) eine gegebene Funktion, und a und b gegebene Zahlen. Die zweite Ableitung
wird durch den zentralen Differenzenquotienten approximiert. Die Systemmatrix soll im
sparse-Format gespeichert werden.
Als Testproblem wählen Sie die vorgegebene Lösung
u(x) = cos(2πx) −
x2
.
2
Zeichnen Sie die exakte und die numerische Lösung für n = 8, 16, 32 innere Punkte. Zeichnen Sie den Fehler max |u(xi ) − uh (xi )| bez. der Maschenweite h auf einer log-log Skala.
i
Welche Konvergenzordnung beobachten Sie?
Hinweis: Die MATLAB-Funktion spdiags ist hilfreich.
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich auf der Webseite
http://tinyurl.com/NumPDEIHS2016
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