Zusatzaufgaben vom 18.12.06

Zusatzaufgaben vom 18.12.06
Lösung zu Aufgabe 1:
√
Es gilt S ∼ N (10, 3 · 10−6 ), Z = (S − 10)/( 3 · 10−3 ) ∼ N (0, 1). Damit gilt
5
−4
P (9, 996 ≤ S ≤ 10, 005) = P ( √ ≤ Z ≤ √ ) = P (−2, 3094 ≤ Z ≤ 2, 8868)
3
3
= Φ(2, 8868) − (1 − Φ(2, 3094)) = 0, 9980 + 0.9896 − 1
= 0, 9876.
Lösung zu Aufgabe 2:
Es gilt P (Z < 0) = 0 und P (Z > 2) = 0. Es sei t ∈ (0; 2].
P (Z < t) = P (Z < t, X = 0) + P (Z < t, X = 1)
= P (Y < t, X = 0) + P (Y < t − 1, X = 1)
= P (Y < t)P (X = 0) + P (Y < t − 1)P (X = 1)
(1
,
t ∈ (0; 1],
1
1
= FY (t) + FY (t − 1) = 21 1
1
+ 2 (t − 1) = 2 t, t ∈ (1; 2].
2
2
2
Lösung zu Aufgabe 3:
Ω = Menge der Permuationen der Zahlen 1, ...,Sn. Sei Ai das Ereignis, dass die Zahl i
invariant bleibt. Das gesuchte Ereignis is B = ni=1 Ai . Nach der Siebformel gilt
P (B) = P (
n
[
Ai ) =
i=1
n
X
k+1
(−1)
X
i1 <···<ik
i1 ,...,ik ∈{1,...,n}
k=1
P(
k
\
Aij ).
j=1
Die Wahrscheinlichkeit für einen Block der Länge k ist (n−k)!
. Es gibt
n!
Länge k. Mit Siebformel ergibt sich für die Aufgabe
µ ¶
n
n
X
X
1
n
k+1 n (n − k)!
=
(−1)k+1 .
P (∪i=1 Ai ) =
(−1)
n!
k!
k
k=1
k=1
Beispiel: n = 5 liefert 0, 63333.
Lösung zu Aufgabe 4:
(a) P (A) = 0, 034927. (b),(c) Es gilt
P (A) ≥ P (B) = 1 − (1 −
1 m
) → 1,
kk
(d) Es gilt
n
P (A) =
[k]
X
l=1
l+1
(−1)
µ
¶
n − kl + l 1
.
k lk
l
¡n¢
k
Blöcke der