Höhere Mathematik C für Elektrotechniker WS 05/06 2

Höhere Mathematik C für Elektrotechniker WS 05/06
2. Aufgabenblatt
1. Aufgabe : (a) Berechnen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe
(∗)
ẋ = −r · (1 −
x
) · x,
κ
x(0) = x0 > 0
mit Konstanten 0 < r, 0 < κ.
(b) Zeigen Sie, welcher stationäre Punkt von (∗) stabil bzw. instabil ist.
2. Aufgabe : Zeigen Sie: Die in England (ertragreich) erprobte radarfreie Geschwindigkeitskontrolle, bei der die Ankunft eines Autos jeweils am Anfang A und am Ende B einer längeren
Autobahnstrecke gestoppt wird, erfaßt nur Geschwindigkeitssünder mit zu hoher mittlerer Geschwindigkeit zwischen A und B.
3. Aufgabe : Radiaktiver Zerfall wird durch die Differentialgleichung
ẋ = −λx
, x(0) = x0
mit substanzabhängiger Zufallskonstante λ > 0 beschrieben. x(t) > 0 mißt die zur Zeit t ≥ 0
vorhandene Substanzmenge.
Die Halbwertszeit von Kalium-42 beträgt 12,45 Stunden.
a) Wieviel Prozent der Anfangsmasse x0 sind nach a1 ) 10, a2 ) 15 Stunden noch vorhanden?
b) Nach wieviel Stunden sind b1 ) 5 %, b2 ) 10 % der Anfangsmasse x0 zerstrahlt?
c) Ist der Punkt x = 0 ein stabiler stationärer Punkt?
4. Aufgabe∗ : Sei f : R → R eine stetige Funktion. Für zwei Zahlen a < b gelte f (b) < 0 < f (a).
Beweisen Sie den Satz:
Jede Lösung x(t) der Differentialgleichung
ẋ = f (x),
die zur Zeit t = 0 in x(0) = x0 ∈ [a, b] startet, erfüllt x(t) ∈ [a, b] für alle t ≥ 0, für die x(t) im
ganzen Intervall [0, t] existiert:
x(0) ∈ [a, b] =⇒ x(t) ∈ [a, b]∀t ≥ 0.
Erläutern Sie die Schlußweise mit einer Skizze für die spezielle Funktion f (x) = (1 −
Abgabetermin: Montag, 14.11.05, 7:20 Uhr
Abgabeort: orangefarbener Kasten Nr. 20 auf D1
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