HM III - Universität Stuttgart
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Universität Stuttgart, WS 2009/2010 M. Griesemer, O. Prill, D. Zimmermann HM III Vortragsübungen 6 Blatt 25.11.2009 Aufgabe 18. Lösen Sie die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung y 0 (x) − 3 · y(x) = x · e4x a) unter Verwendung eines speziellen Ansatzes, b) durch Variation der Konstanten, c) mithilfe der Lösungsformel. Aufgabe 19. Im R2 werde von einem Zugpunkt Z aus ein Punkt P über eine straff gespannte Schnur P Z der Länge a > 0 gezogen. Der Zugpunkt Z befinde sich auf der y-Achse und bewege sich auf dieser in positiver Richtung fort. Zu Beginn des Vorgangs liege P in (a, 0). Welche Kurve beschreibt P ? Aufgabe 20. Durch die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mv̇(t) + kv(t) = mg werde die Sinkgeschwindigkeit eines Teilchens der Masse m > 0 in einem Fluid mit Reibungskoeffizient k > 0 in einem Schwerefeld mit Ortsfaktor g > 0 beschrieben. a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung. b) Finden Sie die partikuläre Lösung zum Anfangswert v(0) = v0 . Aufgabe 21. Für die Stromstärke I(t) in einem RL-Stromkreis gelte: ˙ + RI(t) = U (t). LI(t) Untersuchen Sie das zeitliche Verhalten der Stromstärke, welche von der Wechselspannung U (t) = U0 cos(ωt), U0 > 0, ω ∈ R, im RL-Stromkreis hervorgerufen wird. a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. b) Geben Sie die partikuläre Lösung zum Anfangswert I(0) = I0 an. Aufgabe 22. Im R2 befinden sich in den Punkten (−1, 0) und (1, 0) zwei entgegengesetzte Ladungen gleicher Größe. Diese erzeugen ein ebenes elektrostatisches Feld, dessen zugehöriges Potential durch p p φ(x, y) = ln( (x + 1)2 + y 2 ) − ln( (x − 1)2 + y 2 ) gegeben sei. a) Leiten Sie eine Differentialgleichung für die Äquipotentiallinien her. b) Leiten Sie eine Differentialgleichung für die elektrischen Feldlinien her.
