HM III - Universität Stuttgart

Universität Stuttgart, WS 2009/2010
M. Griesemer,
O. Prill, D. Zimmermann
HM III
Vortragsübungen
6
Blatt
25.11.2009
Aufgabe 18. Lösen Sie die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung
y 0 (x) − 3 · y(x) = x · e4x
a) unter Verwendung eines speziellen Ansatzes,
b) durch Variation der Konstanten,
c) mithilfe der Lösungsformel.
Aufgabe 19. Im R2 werde von einem Zugpunkt Z aus ein Punkt P über eine straff gespannte
Schnur P Z der Länge a > 0 gezogen. Der Zugpunkt Z befinde sich auf der y-Achse und bewege
sich auf dieser in positiver Richtung fort. Zu Beginn des Vorgangs liege P in (a, 0). Welche
Kurve beschreibt P ?
Aufgabe 20. Durch die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung
mv̇(t) + kv(t) = mg
werde die Sinkgeschwindigkeit eines Teilchens der Masse m > 0 in einem Fluid mit Reibungskoeffizient k > 0 in einem Schwerefeld mit Ortsfaktor g > 0 beschrieben.
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
b) Finden Sie die partikuläre Lösung zum Anfangswert v(0) = v0 .
Aufgabe 21. Für die Stromstärke I(t) in einem RL-Stromkreis gelte:
˙ + RI(t) = U (t).
LI(t)
Untersuchen Sie das zeitliche Verhalten der Stromstärke, welche von der Wechselspannung
U (t) = U0 cos(ωt), U0 > 0, ω ∈ R, im RL-Stromkreis hervorgerufen wird.
a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
b) Geben Sie die partikuläre Lösung zum Anfangswert I(0) = I0 an.
Aufgabe 22. Im R2 befinden sich in den Punkten (−1, 0) und (1, 0) zwei entgegengesetzte
Ladungen gleicher Größe. Diese erzeugen ein ebenes elektrostatisches Feld, dessen zugehöriges
Potential durch
p
p
φ(x, y) = ln( (x + 1)2 + y 2 ) − ln( (x − 1)2 + y 2 )
gegeben sei.
a) Leiten Sie eine Differentialgleichung für die Äquipotentiallinien her.
b) Leiten Sie eine Differentialgleichung für die elektrischen Feldlinien her.