¨Ubungen zur Vorlesung Mathematik I/1

Institut für Wissenschaftliches Rechnen
Prof. Dr. Jörg Wensch
Dr. Ute Feldmann
Übungen zur Vorlesung Mathematik I/1
9. Woche - Lösung
1. (a) Veranschaulichen Sie die Fälle (i)-(iii) auf Folie VL 7/1/1 für vi ∈ R2 (Beispiel-Vektoren v1 , . . . zeichnen)!
(b) Auf Folie VL 7/1/2 könnte man unter ’Lineare Hülle’ einen Punkt hinzufügen:
• dim L(v1 , . . . , vk ) < k ⇔ v1 , . . . , vk sind linear abhängig.
(c) Zu Folie VL 6/1/5: Ordnen Sie die Worte ’mindestens’, ’höchstens’ und ’genau’ folgenden Aussagen zu:
Ein Vektorsytem (eine Menge von Vektoren), das (die)
Lösung:
i. eine Basis des Rn ist, hat genau n Vektoren.
ii. (im Rn ) linear unabhängig ist, hat höchstens n Vektoren.
iii. ein Erzeugendensystem des Rn ist, hat mindestens n Vektoren.
2. Def.: Eine Operation ◦ (sprich ’Kringel’) heißt assoziativ, wenn für Sie gilt
a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c
Assoziativgesetz = ’Man-darf-Klammern-weglassen’.
Das Assoziativgesetz gilt z.B. für ◦ = Multiplikation reeller bzw. komplexer Zahlen, z.B. 3 · (2 · 4) = (3 · 2) · 4.
Gilt das Assoziativgesetz auch für ◦ = Kreuzprodukt von Vektoren?
Lösung: Nein! Begründung siehe Entwicklungssatz (VL 7/3/6):
a × (b × c) liegt in der von b und c aufgespannten Ebene.
(a × b) × c = −c × (a × b) liegt hingegen in der von a und b aufgespannten Ebene.
3. Welche der Punkte in der letzten Zeile auf Folie VL 7/3/7 sind ’Skalarproduktpunkte’ (SP), welche stehen
für die Multiplikation mit einer reellen Zahl?
Lösung: (a · c) · (b · d) − (b · c) · (a · d)
SP
SP
SP
SP
4. Gilt a · (b · c) = (a · b) · c ?
Lösung: Nein! Linke Seite liegt in Richtung a, rechte Seite in Richtung c. → Gegenbeispiel so leicht wählbar.
Zusatz: Im 2. Semester lernen Sie im Fach ’Elektrische und magnetische Felder’ das ebene Magnetfeld (magnetische
Feldstärke H) eines (idealisiert) unendlich langen Stromleiters kennen:
H(r) =
I
· eL × r,
2π|r|2
wobei eL der Einheitsvektor (oder der auf Länge=1 normierte Vektor, in der Ma-VL oft mit n bezeichnet)
in Richtung des Stromflusses ist und r der Vektor vom Leiter zum ’Ort’ r ist, dessen Feldstärke mit H(r)
angegeben wird.
Geben Sie die magnetische Feldstärke für einen Strom I = 3A ’entlang der z-Achse’ an den Orten
 
 
 
3
0
0
r = 0m, r = 3m und r = 0m an.
0
0
3
Zeichnen Sie die Situation für einen Kreis (um den Ursprung) mit Radius 3 in der x-y-Ebene.
Lösung:
  
   
 
0
0
3
3
1
3A
0 × 0 m =
1 A
·
H 0 m =
2π(3m)2
2π
m
1
0
0
0
  
 
  
0
−1
0
1 
A



analog H 3 m = 2π
und
H
0
3 m = 0.
m
0
0
0
Magnetfeld umkreist den Strom entgegen des Uhrzeigersinns: rechte Hand: Daumen=Strom, Finger=Magnetfeld.
5. Gilt |r|2 = |r2 | und |r|2 = r2 ? Lösung: Ja! und Ja! für r ∈ Rn ; Ja! und Nein! für r ∈ Cn