2. Übungsblatt - Universität Potsdam

Universität Potsdam
Vorlesung Theoretische Physik I (LA)
M. Rosenblum
Institut für Physik
WS 14/15
Übung 2 : Harmonischer Oszillator.
(Besprechung in der Woche vom 17.11.13)
Aufgabe 2.1
Man betrachte die Lösung
x(t) = A cos(ω0 t + φ0 )
des linearen harmonischen Oszillators
ẍ + ω02 x = 0.
A und φ0 seien bekannte Konstanten.
1. Berechnen Sie den Maximalausschlag xm und die Zeit t1 bis zum Erreichen von xm .
Welche Werte haben die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zur Zeit t1 ?
2. Wie groß ist die maximal erreichte Geschwindigkeit ẋm und nach welcher Zeit t2 wird
sie erreicht? Welcher Zusammenhang besteht zwischen xm und ẋm ?
3. Berechnen Sie die maximale Beschleunigung ẍm und die Zeit t3 bis zum Erreichen
von ẍm . Wie groß sind Geschwindigkeit und Auslenkung zu dieser Zeit?
Aufgabe 2.2
Man betrachte den harmonischen Oszillator mit Dämpfung. Die Dämpfungskonstante γ
soll gerade halb so groß sein wie die kritische Dämpfung.
1. Wie groß ist die Periodendauer τ der Schwingung im Verhältnis zum ungedämpften
Fall γ = 0?
2. Bestimmen Sie das Verhältnis der maximalen Auslenkungen (Amplituden) zweier
aufeinanderfolgender Schwingungen.
Aufgabe 2.3
Betrachten Sie den gedämpften harmonischen Oszillator mit Eigenfrequenz ω0 . (Die Dämpfungskonstante γ ist kleiner als die kritische Dämpfung.) Der Oszillator wird mit periodischer Kraft F = F0 cos νt getrieben, wobei ν 6= ω0 ist.
1. Finden Sie die allgemeine Lösung für die Auslenkung als Summe der allgemeinen
Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:
x(t) = xH (t) + xS (t).
2. Nach einer Einschwingzeit geht die Lösung in eine stationäre Bewegung x(t) = xS (t)
über, da limt→∞ xH (t) → 0. Bestimmen Sie die Anfangsbedingungen so, dass die
Einschwingzeit Null ist.
Aufgabe 2.4
Betrachten Sie einen Federschwinger mit Federkonstante k und Masse m, der senkrecht
zur Erdoberfläche aufgehängt ist und auf den die Erdanziehungskraft wirkt.
1. Schreiben Sie die homogene Lösung auf.
2. Finden Sie eine spezielle Lösung.
3. Schreiben Sie die komplette Lösung auf und interpretieren Sie den Einfluss der
Schwerkraft auf das Verhalten des Pendels.
Aufgabe 2.5
Ein masseloser Faden hat die Länge l und an seinem Ende die Masse m. Auf die Masse wirkt die Erdanziehungskraft F=-mg.
1. Finden Sie die Differentialgleichung, die dieses Problem beschreibt und bestimmen
Sie mit Hilfe dieser die Frequenz des Pendels bei kleinen Auslenkungen.
2. Das Pendel erreicht bei maximaler Auslenkung die maximale potentielle Energie.
Finden Sie eine Gleichung für diese in Abhängigkeit von der maximalen Auslenkung.
3. Leiten Sie aus der Energieerhaltung eine Gleichung für die Winkelgeschwindigkeit
ϕ̇ = ϕ̇(ϕ, E) her.
Hinweis: Für kleine Winkel gilt sin(α) ≈ α und cos(α) ≈ 1 − 21 α2 .