Die Formel von de Moivre Der goldene Schnitt ist definiert durch das

Die Formel von de Moivre
Der goldene Schnitt ist definiert durch das Verhältnis positiver reeller Zahlen
a > b zueinander, gegeben durch die Gleichung
a+b
a
=
a
b
Das kann man umschreiben als
a · b + b2 = a2
oder auch
Dies zeigt, dass
a
b
a 2
a
+1=
b
b
die positive Lösung der Gleichung
x + 1 = x2
ist. Man bezeichtet diese Lösung φ als den goldenen Schnitt. Offenbar gilt
√
1+ 5
φ=
≈ 1.61803 . . .
2
Die andere Lösung der Gleichung 1 + x = x2 wird als φb bezeichnet. Es ist
√
1− 5
b
φ=
= 1 − φ = −0.61803 . . .
2
φ und φb sind irrationale Zahlen. Es gilt φ · φb = −1. Man hat also
b = z2 − z − 1
(z − φ)(z − φ)
oder anders ausgedrückt
(1 − φ · z)(1 − φb · z) = 1 − z − z 2
Das Reziproke von 1 − z − z 2 kann man mittels Partialbruchzerlegung und
Entwicklung einer geometrischen Reihe darstellen:
1
1
=
2
1−z−z
(1 − φ · z)(1 − φb · z)
1
φb
1
φ
=√ ·
−√ ·
5 1−φ·z
5 1 − φb · z
1
φ X
φb X b
=√ ·
(φ · z)n − √ ·
(φ · z)n
5 n≥0
5 n≥0
X
1
=√
φn+1 − φbn+1 · z n
5 n≥0
Der Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen wird nun hergestellt durch
die Aussage
X
fn · z n = 0 + 1 z + 1 z 2 + 2 z 3 + 3 z 4 + 5 z 5 + 8z 6 + 13 z 7 + · · ·
n≥0
=
z
1 − z − z2
Das ist aber nicht anderes als die z-transformierte Gestalt der rekursiven
Definition der Fibonacci-Zahlen. Um das zu sehen, multipliziere man


X
X

fn · z n  · 1 − z − z 2 =
hm z m
n≥0
m≥0
und man sieht
hm


für m = 0
f0 = 0
= f1 − f0 = 1
für m = 1


fm − fm−1 − fm−2 = 0 für m ≥ 2
P
uns somit ist m≥0 hm z m = z.
Dann ergibt der Koeffizientenvergleich die Formel von de Moivre
fn =
φn − φbn
√
5
2