Algebra-Aufgaben: Komplexe Zahlen 2 1. Löse die folgenden

Algebra-Aufgaben: Komplexe Zahlen 2
1. Löse die folgenden Gleichungen in C:
(a) z 2 − 4z + 13 = 0
(b) 81z 2 + 25 = 0
(c) z 2 + z = −1
2. Wir betrachten die folgenden komplexen Zahlen:
z1 = 7 − 5i, z2 = 2 + i, z3 = −5 + 2i, z4 = −10 − 3i
Berechne
(a) z1 − z2 − z3 =
(b) z1 · z2 · z3 =
(c) Re(z1 + 4z2 ) =
(d) Im(z2 2 z4 ) =
(e) z2 =
(f) z3 2 =
(g) z4 −1 =
(h)
Re(z1 )
=
Re(z2 )
3. Berechne
(a)
(5 + 5i) − (5 + 5i)
(1 + 2i)(1 + 2i)
√
4 + 2i
(b) √
=
2 − 4i
=
4. Löse die folgenden Gleichungen:
(a) 5z = 8iz + (81 − 5i)
z − 3i − 3
(b)
=i
z + 2 + 4i
1
5. Für welche Zahlen z ∈ C gilt:
(a) z = z
(b) Re(z) = Re(z)
(c) Im(z) + Im(−z) = 0
6. Beweise die folgenden Eigenschaften konjugiert komplexer Zahlen:
(z = a + bi)
(a) zz =| z |2 , ∀z ∈ C
(b) z1 + z2 = z1 + z2 , z1 − z2 = z1 − z2
z1
z1
(c) z1 · z2 = z1 · z2 ,
=
z2
z2
1
1
(z − z)
(d) Re(z) = 2 (z + z) , Im(z) = 2i
7. Beweise die folgende Aussage:
Ist z die Lösung einer algebraischen Gleichung zweiten oder
höheren Grades mit reellen Koeffizienten, so ist auch z eine
Lösung der Gleichung.
Was für Folgerungen ziehst du aus dieser Aussage?
8. Bestimme jeweils die Parameter und die fehlenden Lösungen:
(a) x1 = 3 + i ist Lösung der Gleichung x3 − 12x2 + ax + b = 0
(b) x1 = 1 + i ist Lösung der Gleichung x4 − 50x2 + ax + b = 0
(c) Die Gleichung x3 + ax = 100 hat eine nicht-reelle Lösung mit dem
Realteil -2.
(d) Die Gleichung x4 − 12x3 + ax2 + bx + 72 = 0 hat zwei rein imaginäre
Lösungen und eine reelle Lösung mit algebraischer Vielfachheit 2.
(e) Die Lösungen der Gleichung x4 − 4x3 + ax2 + bx + c = 0 bilden
in der Gauß’schen Zahlenebene ein Quadrat, von dem eine Ecke im
Ursprung liegt.
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