3 . Aufgabenblatt Repetitorium Lineare Algebra

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Wintersemester 2016/17
3 . Aufgabenblatt Repetitorium Lineare Algebra
3.1 Zu A ∈ R2×2 und b ∈ R2 sei LA,b die Lösungsmenge der Gleichung Ax = b.
a) Beweisen oder widerlegen Sie:
i) Für alle A ∈ R2×2 gibt es ein b ∈ R2 , so dass LA,b genau aus einem Punkt
besteht.
ii) Für alle b ∈ R2 gibt es ein A ∈ R2×2 , so dass LA,b genau aus einem Punkt
besteht.
iii) Ist LA,b ein Unterraum, so ist b = 0.
2×2
b) Bestimmen sie eine Matrix A ∈ R
LA,b
, so dass für b =
−1
gilt:
1
1
1
=
+R
.
1
−2
Lösungshinweise:
a) i) Falsch: Ist A die Nullmatrix, so ist LAx=b entweder leer oder (im Falle b = 0) der
ganze R2 .
ii) Richtig: wählt man ein invertierbares A, so hat die Gleichung Ax = b für jedes b genau
eine Lösung.
iii) Richtig: Es gilt LAx=b = Kern(A) + x0 mit Ax0 = b. LAx=b ist also genau dann ein
Unterraum, wenn x0 ∈ Kern(A). Also ist b = Ax0 = 0.
1
1
b) Wegen LAx=b = Kern(A) + x0 mit Ax0 = b muss gelten A
= 0 und A
= b (1
−2
1
2α α
Punkt). Die erste Gleichung führt zu A =
mit α, β ∈. Mit der zweiten Gleichung
2β β
ergibt sich α = − 31 und β = 31 .
3.2 Gegeben seien die Matrizen

1 0 0
1 1 0
A=
1 0 1
−1 1 1

0
0

0
1

und

α −1 −α 0
 0 1 −1 1 

Bα = 
0 0
1 −1
0 0
0
1
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ABα x
Abhängigkeit von α ∈ R.
=
(0, 1, −1, 1)> in
Lösungshinweise: Lösung 1: ABα berchnen und dann Gauß anwenden. Eleganter: Erst
Ay = b berechnen und dann Bα x = y berechnen. Zu Ay = b ist y = (0, 1, −1, 1)> die
einzige Lösung. Ist α 6= 0 so ist Bα invertierbar und x = (0, 0, 0, 1)> ist die einzige Lösung
von Bα x = y, also auch von A(Bα x) = b. Ist α = 0 so ist KernBα = span(e1 ) also
L = e4 + span(e1 ).
3.3 Zeigen Sie: Für jede Matrix A ∈ R3×3 hat die Gleichung Ax = A> x unendlich viele
Lösungen
Lösungshinweise: Gesucht ist die Lösungsmenge der Gleichung (A − A> )x = 0. Es ist
also zu zeigen, dass Kern(A − A> ) nicht trivial ist. Wegen (A − A> ) = −(A − A> )> ist
det(A − A> ) = (−1)3 det(A − A> ), also det(A − A> ) = 0. Damit ist Rang(A − A> ) ≤ 2
also der Kern nicht trivial.