1 . ¨Ubung zur Analytische Geometrie

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan, L. Lauerbach
Wintersemester 2015/16
13.10.2015
1 . Übung zur Analytische Geometrie
Abgabe: Bis 20.10.2015, 12.14 Uhr, in der Vorlesung.
1.1 (2+2+2 Punkte)
a) Untersuchen Sie, ob die Abbildung
φ1 : R2 × R2 → R, φ1 (x, y) = |x1 | + |x2 y2 | + |y2 |
ein Skalarprodukt definiert.
b) Untersuchen Sie, ob die Abbildung
2
2
φ2 : R × R → R, φ2 (x, y) = x
>
1 −1
y
−1 1
ein Skalarprodukt definiert.
c) Untersuchen Sie, ob die Abbildung
φ3 : R2×2 × R2×2 → R, φ3 (A, B) = Rang(A + B)
ein Skalarprodukt definiert.
Lösungshinweise:
a) Nein, φ1 ist nicht symmetrisch, z.B. is φ1 ((1, 0)T , (2, 0)T ) = 1 6= 2 = φ1 ((2, 0)T , (1, 0)T ).
b) Nein, φ2 ist nicht positiv definit, z.B. ist φ2 ((1, 1)T , (1, 1)T ) = 0, aber (1, 1)T 6= (0, 0)T ;
ODER nach Satz 1.3. ist φ2 genau dann ein Skalarprodukt, wenn die Matrix symmetrisch
und positiv definit ist. Dies ist nicht der Fall, sie ist nicht positiv definit: entweder mit
Hurwitz prüfen, oder Eigenwerte berechnen (EW: 0,2)
c) Nein, φ3 ist nicht bilinear, z.B. ist 2φ3 (E, E) = 4 6= 2 = φ3 (2E, E).
1.2 (3 Punkte)
Bestimmen Sie eine Matrix
R2×2 , so dass φ : R2× R2 → R, (x, y) 7→ x>Ay ein
A
∈
1
1
1
1
Skalarprodukt mit φ
,
= 7 und φ
,
= −1 ist.
1
1
−1
1
Lösungshinweise:
Nach Satz 1.3 muss die Matrix symmetrisch sein, also A =
a b
, a, b, c ∈ R. Aus der
b c
Angabe: a b
a b
1
1
I) 1 1
= 7 und II) 1 −1
= −1, was zu den Gleichungen
b c
1
b c
1
I) a + 2b + c = 7 und II) a − c = −1 führt. Zusätzlich muss die Matrix (Satz 1.3) positiv
definit sein, nach Hurwitz also III) a > 0 und IV) ac − b2 > 0 gelten. Gleichungen I) - IV)
werden z.B. durch a = 3, b = 0, c = 4 erfüllt.
1.3 (Wiederholungsaufgabe zur Linearen Algebra: 2+2+2 Punkte)
Zu A ∈ R2×2 und b ∈ R2 sei LA,b die Lösungsmenge der Gleichung Ax = b. Beweisen
oder widerlegen Sie:
i) Für alle A ∈ R2×2 gibt es ein b ∈ R2 , so dass LA,b genau aus einem Punkt
besteht.
ii) Für alle b ∈ R2 gibt es ein A ∈ R2×2 , so dass LA,b genau aus einem Punkt
besteht.
iii) Ist LA,b ein Untervektorraum, so ist b = 0.
Lösungshinweise:
a) i) Falsch: Ist A die Nullmatrix, so ist LAx=b entweder leer oder (im Falle b = 0) der
ganze R2 .
ii) Richtig: wählt man ein invertierbares A, so hat die Gleichung Ax = b für jedes b genau
eine Lösung.
iii) Richtig: Es gilt LAx=b = Kern(A) + x0 mit Ax0 = b. LAx=b ist also genau dann ein
Unterraum, wenn x0 ∈ Kern(A). Also ist b = Ax0 = 0.
1
1
b) Wegen LAx=b = Kern(A) + x0 mit Ax0 = b muss gelten A
= 0 und A
= b.
−2
1
2α α
Die erste Gleichung führt zu A =
mit α, β ∈ R. Mit der zweiten Gleichung
2β β
ergibt sich α = − 13 und β = 31 .