Blatt 5

Übungen zur Vorlesung Mathematische Probleme für den Schulunterricht
H. Klein
Blatt 5,12. Mai 2016
(17) Sei P ⊆ R3 ein konvexer Polyeder. Zeigen Sie, dass dann eine der Flächen von P ein
Dreieck ist oder an einer der Ecken von P genau drei Flächen anliegen.
(18) Seien e eine Ebene im R3 , n ∈ N mit n ≥ 3 und C = A1 . . . An ein gleichseitiges
n-Eck in e. Zeigen Sie das es genau dann einen Punkt B außerhalb von e gibt so das
alle Dreiecke A1 A2 B, A2 A3 B, . . ., An A1 B gleichseitig sind wenn C regulär ist und
n ∈ {3, 4, 5} gilt.
(19) Sei T = ABCD ein Tetraeder der Kantenlänge a > 0. Weiter teile der Punkt B 0
die Strecke AB im Verhältnis 1 : 2, d.h. B 0 liegt zwischen A und B und es ist
|B 0 B| = 2 · |AB 0 |. Die Punkte C 0 , D0 seien analog definiert. Schließlich bezeichne e
die Ebene ABC, f die Ebene B 0 C 0 D0 und es sei θ der Winkel zwischen e und f der
D enthält. Berechnen Sie θ (als exakten Wert).
(20) Sei ∆ ein spitzwinkliges Dreieck. Zeigen Sie, dass es einen 3-Simplex gibt dessen
Seiten alle zu ∆ kongruent sind.
Abgabe: Freitag, den 27. Mai bis 1300 im Schrein.