Prof. Dr. J. Struckmeier WS 2004/05 Übungen zur Vorlesung

Prof. Dr. J. Struckmeier
WS 2004/05
Übungen zur Vorlesung Mathematische Modellierung und Simulation“
”
Blatt 7
Aufgabe 1:
Bei der ersten Ziehung der Glücksspirale 1971 wurden für die Ermittlung einer 7–stelligen
Gewinnzahl aus einer Trommel, die Kugeln mit den Ziffern 0, . . . , 9 je 7–mal enthält, nacheinander rein zufällig 7 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 7 gleiche Zahlen zu ziehen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) zu ziehen?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (2, 2, 3, 1, 4, 2, 2) zu ziehen?
d) Wie würden Sie den Ziehungsmodus abändern, um allen Gewinnzahlen die gleiche Ziehungswahrscheinlichkeit zu sichern?
Lösung zu Teil a):
Mit den Definitionen
U = {01 , . . . , 07 , . . . , 91 , . . . , 97 }
Ω = {(a1 , . . . , a7 ) | ai ∈ U, i = 1, . . . , 7, ai 6= aj , i 6= j}
ergibt sich direkt aus der Kombinatorik
70
|Ω| = 7! ·
= 70 · 69 · · · · · 64 ≈ 6.0418245 · 1012
7
A1 = {(a1 , . . . , a7 ) ∈ Ω | a1 = · · · = a7 }
|A1 | = 10 · 7!
Daraus folgt aber
P (A1 ) =
10 · 7!
≈ 8.3418509 · 10−9
|Ω|
Lösung zu Teil b):
Für jede Zahl stehen 7 Kugeln zur Auswahl, d.h. es wird 7 mal aus 7 Kugeln eine gezogen:
A2 = {(a1 , . . . , a7 ) ∈ Ω | a1 ∈ {11 , . . . , 17 }, . . . a7 ∈ {71 , . . . , 77 }}
|A2 | = |7 · ·{z
· · · 7} = 77
7 mal
Daraus folgt
P (A2 ) =
77
≈ 1.36307 · 10−7
|Ω|
Lösung zu Teil c):
Wir definieren
A3 = {(a1 , . . . , a7 ) ∈ Ω | a1 ∈ {21 , . . . , 27 }, a2 ∈ {21 , . . . , 27 } \ {a1 },
a3 ∈ {31 , . . . 37 }, a4 ∈ {11 , . . . , 17 }, a5 ∈ {41 , . . . , 47 }
a6 ∈ {21 , . . . , 27 } \ {a1 , a2 }a7 ∈ {21 , . . . , 27 } \ {a1 , a2 , a6 }}
Dann gilt
|A3 | = 7 · 6 · 7 · 7 · 7 · 5 · 4 = 288120
und
P (A3 ) =
288120
≈ 4.7688 · 10−8
|Ω|
Lösung zu Teil d):
Um gleichverteilte Zahlenkombinationen zu erreichen, könnte man zum Beispiel 7 separate
Trommeln mit jeweils 10 Kugeln mit den Ziffern 0, . . . , 9 verwenden. Aus jeder Trommel wird
dann genau einmal gezogen.
Alternativ dazu reicht eine einzige Trommel mit 10 Kugeln mit den Ziffern 0, . . . , 9 , wobei
man dann allerdings nach jeder Ziehung die gezogene Kugel wieder in die Kugel zurücklegt.
Aufgabe 2:
2 % der Bevölkerung sind Diabetiker. Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter
100 rein zufällig ausgewählten Personen mindestens 3 Diabetiker sind
a) mit Hilfe der Binomialverteilung,
b) mit Hilfe der Poissonverteilung.
Lösung zu Teil a):
Wir betrachten die Zufallsvariable X , die die Zahl der Diabetiker unter 100 zufällig ausgewählten Personen beschreibt. Unter der Annahme, dass X einer Binomialverteilung mit
Parametern N = 100 und p = 0.02 genügt, ergibt sich direkt:
P (X ≥ 3) = 1 − P (X < 3)
= 1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2)
100
= 1−
· 0.020 · 0.98100
0
−
100
1
≈ 0.323314
99
· 0.02 · 0.98 −
100
2
· 0.022 · 0.9898
Lösung zu Teil b):
Wir nehmen an, dass die Zufallsvariable X approximativ poissonverteilt mit λ = N p = 2 ist:
P (X ≥ 3) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2)
21 22
−2
= 1−e
1+
+
= 1 − 5e−2
1!
2!
≈ 0.323324