Technische Universität München SoS 2008 Zentrum Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Ulbrich
Dr. M. Kaplan, Dr. G. Müller
SoS 2008
Blatt 11
Höhere Mathematik 4
für Elektro- und Informationstechnik
Zentralübung (23. Juni 2008)
Z 20) Regressionsanalyse
Bei einer Vorlesung im Sommersemester wurde bei acht Vorlesungsterminen folgendes
beobachtet:
Vorlesung
i
◦
Außentemperatur (in C) xi
Teilnehmerzahl
yi
Man berechnet
X
xi = 195
i
X
i
x2i = 4917
X
i
1 2 3 4
19 17 24 27
47 51 46 42
yi = 349
X
5
22
48
yi2 = 15415
i
6
29
38
7
26
41
X
8
31
36
xi yi = 8338.
i
a) Berechnen Sie die Koeffizienten der Regressionsgerade für die Anzahl der
Teilnehmer in Abhängigkeit von der Außentemperatur.
b) Berechnen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten rxy . Ist der lineare
Ansatz gerechtfertigt?
c) Zeichnen Sie die Stichprobenwerte und die Regressionsgerade in einem geeigneten
Koordinatensystem.
Z 21) Spur einer σ-Algebra
Sei A ⊂ P(Ω) eine σ-Algebra auf Ω, sowie B ⊂ Ω. Zeigen Sie, dass durch
AB := {AB := A ∩ B : A ∈ A}
eine σ-Algebra auf B definiert wird (die sogenannte Spur von A in B).
Z 22) Die Aufgabe von Galilei
Warum erscheint beim Wurf dreier Würfel die Summe 10 öfter als die Summe 9, obwohl
beide Summen auf 6 Arten eintreten können?
bitte wenden!
Tutorübungen und Hausaufgaben (25.-30. Juni 2008)
T 36) Regressionsanalyse
Um den Einfluss des Fahrzeuggewichts auf den Spritverbrauch zu untersuchen, wird
ein Mittelklasse-Pkw mit Leergewicht 1200 kg unterschiedlich beladen und dann der
Durchschnittsverbrauch auf 100 km gemessen, mit folgendem Ergebnis:
Versuch
Zuladung (in kg)
Spritverbrauch (in l/100km)
i
xi
yi
1
80
6.81
2
3
4
140 200 280
6.92 7.02 7.20
5
360
7.31
6
440
7.46
a) Wiederholen Sie Aufgabe Z 20 a)-c) für den Spritverbrauch in Abhängigkeit von
dem Fahrzeug-Gesamtgewicht.
b) Welchen Durchschnittsverbrauch erwarten Sie, wenn (inklusive Fahrer) drei
Personen a 75 kg (ohne weiteres Gepäck) im Auto fahren?
T 37) Kombination von Ereignissen
A, B und C seien drei beliebige Ereignisse. Drücken Sie folgende Ereignisse in Mengenschreibweise aus:
a) A und B, aber nicht C
d) höchstens ein Ereignis
b) alle drei Ereignisse
e) mindestens ein Ereignis
c) nur A
f) höchstens zwei Ereignisse
T 38) Additionsformel für Wahrscheinlichkeiten
a) Beweisen Sie die Additionsformel für Wahrscheinlichkeiten: Für beliebige Ereigdef
nisse A1 , . . . , An gilt (mit Nn = {1, 2, . . . , n})
!
!
n
n
X
\
X
[
i−1
(−1)
=
P
Aj .
Ai
P
i=1
i=1
I⊂Nn , |I|=i
j∈I
b) Oma Eusebia hat 80. Geburtstag. Zur Feier erwartet sie n Enkelkinder. Jedem
Enkelkind kauft sie ein spezielles kleines Geschenk als Dankeschön für’s Kommen.
Die Geschenke sind paarweise verschieden. Nachdem Oma Eusebia alles verpackt
hat, bemerkt sie, dass sie vergessen hat, auf jedes Geschenk den Namen des
Enkelkindes zu schreiben, das das Geschenk erhalten soll. Da sie nicht alle
Geschenke wieder aufpacken möchte, entscheidet sie sich, sie zufällig an die
kleinen Gäste zu verteilen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Enkelkind das richtige Geschenk
erhält?
Wie verhält sich diese Wahrscheinlichkeit für große n?
T 39) Ein Urnenproblem
Eine Urne enthält m grüne und n rote Kugeln. Es werden zufällig zwei Kugeln gleichzeitig entnommen.
a) Geben Sie die Ergebnismenge Ω dieses Experiments an. Wieviele Elemente hat Ω?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit qm,n , zwei Kugeln verschiedener Farbe zu
ziehen?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit pm,n , zwei Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
Bestimmen Sie limn→∞ pmn ,n für den Fall limn→∞ mnn = α (α ∈ (0, ∞) fest).