Blatt 3

Humboldt-Universität zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 3
SS 2010
Prof. Dr. Dirk Becherer
Prof. Dr. Thorsten Dickhaus, Michael Stauch,
Joscha Diehl, Nicolas Perkowski
Übungen zur Stochastik 1
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei M die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf einer abzählbaren Menge Ω (mit der Potenzmenge
von Ω als σ-Algebra).
a) Zeigen Sie, dass M konvex ist. Dabei heißt eine Menge G konvex, wenn für je zwei Punkte
x, y ∈ G gilt: αx + (1 − α)y ∈ G für α ∈ [0, 1].
b) Beschreiben Sie die Extremalpunkte von M und zeigen Sie, dass sich jedes P ∈ M als Mischung“
”
von Extremalpunkten darstellen lässt, d.h.
P=
∞
X
αi Pi ,
i=1
mit αi ≥ 0,
P∞
i=1 αi
= 1, Pi extremal.
Dabei ist Q ∈ M Extremalpunkt, falls aus αQ1 + (1 − α)Q2 = Q für α ∈ (0, 1), Q1 , Q2 ∈ M folgt,
dass Q = Q1 = Q2 .
Aufgabe 2 (4 Punkte)
In einer Urne befinden sich R rote und B blaue Kugeln, wobei 0 ≤ R < B gilt. Sie ziehen ohne
Zurücklegen eine Kugel nach der anderen und legen sie vor sich auf den Tisch, bis Sie alle Kugeln aus
der Urne genommen haben. Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie stets mehr blaue als rote Kugeln auf
dem Tisch haben? Stellen Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum auf und berechnen Sie diese
Wahrscheinlichkeit.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Es sei P die Gleichverteilung auf Ω = Sn , der Menge aller Permutationen von {1, . . . , n}.
a) Für l ∈ {1, . . . , n} und ω ∈ Ω bezeichnen wir mit Ml (ω) := ω(max{i|ω(i) ≤ l}) die Stelle, an der
das Maximum der ersten l Zahlen erscheint. Berechnen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen
Ml unter P.
b) Es erscheinen n unbekannte Zahlen a1 < a2 < · · · < an in zufälliger Reihenfolge, wobei ai ∈
{1, . . . , n} gilt. Zur Modellierung nehmen wir dabei an, dass bei Realisierung von ω ∈ Ω sich die
j-te Zahl aj an Position ω(j) befindet. Wir warten die ersten k Zahlen ab und nehmen dann die
erste Zahl, die größer als alle bisherigen ist. Falls solch eine Zahl nicht mehr auftaucht, nehmen
wir die letzte Zahl.
Beweisen Sie, dass bei dieser Strategie P
die Wahrscheinlichkeit dafür, mit diesem Verfahren die
n−1 1
größte Zahl an zu bekommen, gleich nk j=k
j ist.
Aufgabe 4 (7 Punkte)(Evolution von Information)
Für N ∈ N betrachten wir die Menge Ω = {ω = (x1 , . . . , xN )|xi ∈ {−1, 1}} mit der Gleichverteilung
P. Wir definieren die Zufallsvariablen
Xi (ω) = xi und Si (ω) = si = x1 + x2 + · · · + xi ,
für i = 1, . . . , N und ω = (x1 , . . . , xN ).
Eine Menge A ⊂ Ω heißt beobachtbar bis zum Zeitpunkt n ∈ {0, . . . , N }, wenn sie sich als Vereinigung
von Mengen der Form
{X1 = x1 , . . . , Xn = xn } = {S1 = s1 , . . . , Sn = sn }
darstellen läßt. Sei An die Klasse dieser Mengen. Diese Mengen modellieren unseren heutigen Wissensstand (zur Zeit n) über die Entwicklung von Si bzw. Xi . Zeigen Sie:
a) {∅, Ω} =: A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ AN = P(Ω). Das heißt, unsere Information wächst.
b) Jedes An ist eine σ-Algebra.
c) Für n < N gehört
A := {ω ∈ Ω : Sn (ω) = max Sk (ω)}
0≤k≤N
nicht zu An . Über das Maximum können wir heute noch nichts Sicheres sagen.
d) Für c ≥ 0 definieren wir
Tc := min{n|Sn (ω) ≥ c} ∧ N.
Zeigen Sie, dass {Tc = n} ∈ An für n = 0, . . . , N . Berechnen Sie die Verteilung von T1 und ST1
für N = 5. Eine solche Abbildung T heißt Stoppzeit. Wir stoppen Sn zur Zeit T , bedingt an
unser aktuelles Wissen.
Abgabe: Dienstag, 11.05.2010
(Bitte jeder einzeln abgeben und die Übungsgruppe sowie Matrikelnummer deutlich mit angeben.)