Folien 16.11.

Fachseminar Stochas/k
WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME & ZUFALLSVARIABLEN
R E F E R E N T E N : N I N A D R Ü K E , D A N I E L A O S T H U E S U N D A N N A K N A U P 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 1 Ablauf der Seminarsitzung
1. 
Wiederholung der letzten Sitzung: Grundlagen 2. 
Problemaufriss: Betrachtung ​ℝ↓≧0 bzw. ℝ 3. 
Borelmengen 4. 
Wahrscheinlichkeitsdichte 4.1 VerPefung durch Anwendungsaufgaben 5. 
Zufallsvariablen 5.1 Was sind Zufallsvariablen? 5.2 VerPefung durch Anwendungsaufgaben 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 2 1. Wiederholung: Grundlagen
DefiniPon „Wahrscheinlichkeitsraum“ EigenschaXen von „σ-­‐Algebren“ 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 3  EigenschaXen von „Wahrscheinlichkeitsmaßen“ 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 4 2. Problemaufriss
Bisher: Ø  Beschränkung auf abzählbare Mengen wie beispielsweise auf N Was ist aber mit ​ℝ↓≧0 bzw. ℝ ? 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 5 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 6 ENDLICH VIELE EREIGNISSE 23.11.15 EREIGNISSE, WO INTERVALLE NOTWENDIG SIND/ GEMESSEN WERDEN WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 7 3. Borelmengen
•  die Gesamtmenge ist nicht abzählbar bei ℝ •  bilden eine Klasse von Teilmengen aus ℝ •  kleinste σ-­‐Algebra, die alle Intervalle enthält •  es gelten die gleichen EigenschaXen wie bei der σ-­‐Algebra 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 8 4. Wahrscheinlichkeitsdichte
•  Wahrscheinlichkeitsräume, bei denen die Wahrscheinlichkeiten durch eine DichtefunkPon definiert sind 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 9 Modellierung: Bevölkerungsdichte in Paderborn g :
23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME [0, 8] ⟶ ​ℝ↓≧0 r ⟼ -­‐ 4375 ·∙ r + 35000 10 4.1 Aufgaben
1.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man zwischen zwei und vier Kilometern vom Paderborner Zentrum enkernt wohnt? 2.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man zwischen einem und drei Kilometern und zwischen zwei und vier Kilometern vom Paderborner Zentrum enkernt wohnt? 3.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man näher als zwei Kilometer oder weiter als sieben Kilometer vom Paderborner Zentrum enkernt wohnt? 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 11 5. Zufallsvariablen
23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 12 5.1 Was sind Zufallsvariablen?
•  eine Variable X ist eine Zufallsvariable, wenn der Wert, den X annimmt, von dem Ausgang eines Zufallsexperiments abhängt •  eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu (Beispiele an der Tafel) 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 13 5.2 Aufgaben zur Ver/efung
1. Die Wette des Münzwurfs
Aufgabe: BesPmme die Verteilung der Zufallsvariablen ​𝑋↓𝑖 und berechne dessen Wahrscheinlichkeiten. 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 14 2. Scherben bringen Glück?!
- oder auch nicht...
Aufgabe: BesPmme die Verteilung der Zufallsvariablen ​𝑋↓𝑖 (Anzahl der schadhaXen Gläser unter drei entnommenen) und berechne dessen Wahrscheinlichkeiten. 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 15 3. Kugel - Potpourri  Wir haben eine Urne mit 10 Kugeln. Davon sind 4 Kugeln blau und
die restlichen 6 Kugeln sind rot. Aus der Urne werden nun Kugeln
gezogen und die entsprechende Farbe notiert. Die Kugel wird im
Anschluss wieder in die Urne zurückgelegt.
Aufgabe: BesPmme die Verteilung der Zufallsvariablen ​𝑋↓𝑖 (Anzahl der blauen Kugeln von drei gezogenen Kugeln) und berechne dessen Wahrscheinlichkeiten.   23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 16 Quellen
•  Behrends, E.: Elementare StochasPk. Ein Lehrbuch – von Studierenden mitentwickelt. Wiesbaden: Springer Spektrum 2013 •  Schmidt, K.D.: VersicherungsmathemaPk. Berlin, Heidelberg: Springer 2006 23.11.15 WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME 17